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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 15.07.2006 | | Autor: | mabirto |
| Aufgabe | | Ergänzen Sie (1/2, 1/2, 1/ [mm] \wurzel{2}) [/mm] zu einer Orhtonormalsbasis des [mm] R^3. [/mm] |
Hallo,
ich habe die oben genannte Aufgabe gemacht und wüsste gerne ob ich sie richtig gelöst habe.
Ich habe angefangen mit der Basis { [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/\wurzel{2}}, \vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0} \}
[/mm]
Dan habe ich das Gram-Schmidtche Orthonormalisierungsverfahren angewendet.
u1 = v1 = [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/ \wurzel{2}}
[/mm]
u2 = v2 - <v2, u1> / <u1, u1> * u1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] - 1*12/(2(1/2 * 1/2)) + (1/ [mm] \wurzel{2}) [/mm] * (1/ [mm] \wurzel{2}) [/mm] ) * [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/ \wurzel{2}}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] - 1/2 * [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/ \wurzel{2}} [/mm] =
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{1/4 \\ 1/4 \\0,35}
[/mm]
= [mm] \vektor{3/4 \\ -1/4 \\-0,35}
[/mm]
u3 = v3 - <v3, v1> / <v1, v1> * u1 - <v3, u2> /<u2, u2> *u2
u3 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{1/4 \\ 1/4 \\0,35} [/mm] - -1/4/(9/16 + 1/16 + 0,1225) * [mm] \vektor{3/4 \\ -1/4 \\-0,35} [/mm] =
[mm] \vektor{- 1/4 \\ 3/4 \\-0,35} [/mm] + [mm] \vektor{1/4 \\ -1/12 \\-0,12} [/mm] =
[mm] \vektor{0\\ 2/3\\-0,47}
[/mm]
Eine (oder die?) Orthonormalbasis von (1/2, 1/2, [mm] 1/\wurzel{2}) [/mm] ist also [mm] \{\vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/ \wurzel{2}}, \vektor{3/4 \\ -1/4 \\-0,35}, \vektor{0\\ 2/3\\-0,47}\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Eine kleine Anmerkung zu dieser Zeile:
> u3 = v3 - <v3, v1> / <v1, v1> * u1 - <v3, u2> /<u2, u2> *u2
Du meintest nicht [mm] v_{1} [/mm] sonder [mm] u_{1}, [/mm] denn gerechnet hast du mit [mm] u_{1}. [/mm] 
Die Basis die du am Ende rausbekommst, ist die korrekte Orthogonalbasis. (Bitte in solchen Fällen keine gerundenten dezimalen Vektoreinträge angeben, sondern immer den expliziten algebraischen Ausdruck, ansonsten hast du keine Basis, die dir exakt die Forderungen erfüllt!) Gesucht in der Aufgabe ist aber die sogenannte Orthonormalbasis.
Was ist der Unterschied? Nun, bei der Orthogonalbasis stehen alle Basisvektoren senkrecht aufeinander. Bei der Orthonormalbasis haben zusätzlich alle den Betrag 1. D.h., du musst deine drei Basisvektoren nun jeweils noch durch ihren Betrag teilen, dann erhälst du die Orthonormalbasis mit der schönen Eigenschaft
[mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not= j \end{cases}= \delta_{ij}.
[/mm]
Alles klar soweit?
Und noch was...
> Eine (oder die?) Basis?
Es ist eine! Warum? Kannst du dir als Übung mal überlegen! (Tipp: Was war dein erster Schritt in dieser Aufgabe?)
Viel Spaß noch beim Rechnen!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 15.07.2006 | | Autor: | mabirto |
Hallo Kübi,
danke für deine Antwort :)
Da man die beiden anderen Basisvektoren beliebig wählen kann (solange sie linear unabhängig sind), gibt es wohl viele ONB's.
Also ist eine Orthonormalbasis [mm] \{\vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1/ \wurzel{2}}, 3/4 * \vektor{3/4 \\ -1/4 \\-0,35}, 1/0,81 * \vektor{0\\ 2/3\\-0,47}\} [/mm] ?
Die Rundungen tun mir leid, in der Tat ist es sogar der Übersichtlichkeit halber mit Brüchen einfacher.
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