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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 06.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo,
In einem Beweis verstehe ich eine Zeile nicht. Im Buch steht, dass es sich um quadratische Ergänzung handelt. Jedoch komme ich nicht dahinter, wie ich das genau umwandle.
Es geht um den Satz:
Sei X ein Vektorraum. Sei [mm] \{\phi\}_{i=1}^n [/mm] eine Orthonormalbasis vom endlichdimensionalen Unterraum [mm] X_n \subset [/mm] X.
Für f [mm] \not\in X_n [/mm] ist [mm] f_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] < [mm] \phi_i, [/mm] f> [mm] \phi_i [/mm] die Bestapproximation an f aus [mm] X_n:
[/mm]
[mm] ||f-f_n|| [/mm] < ||f-g||
Der nicht verständliche Schritte:
Wir haben gezeigt ||f [mm] -\sum_{i=1}^n \tilde{\alpha_i} \phi_i||^2 [/mm] = [mm] ||f||^2 [/mm] - 2 [mm] \sum_{j=1}^n Re(\tilde{\alpha_j} \overline{\alpha_j}) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n |\tilde{\alpha_i}|^2 [/mm] wobei [mm] \alpha_j= <\phi_j,f> [/mm] ist.
Wie folgt daraus:
||f [mm] -\sum_{i=1}^n \tilde{\alpha_i} \phi_i||^2 [/mm] = [mm] ||f||^2 [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^n|\alpha_i|^2 [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n |\tilde{\alpha_i}- \alpha_i|^2. [/mm] |
Liebe Grüße,
sissi
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Hiho,
wir zäunen das mal von hinten auf.....
[mm] $-|a_i|^2 [/mm] + [mm] |\tilde{a_i} [/mm] - [mm] a_i|^2$ [/mm]
$= [mm] -Re^2(a_i) [/mm] - [mm] Im^2(a_i) [/mm] + [mm] Re^2(\tilde{a_i} [/mm] - [mm] a_i) [/mm] + [mm] Im^2(\tilde{a_i} [/mm] - [mm] a_i)$ [/mm]
$= [mm] -Re^2(a_i) [/mm] - [mm] Im^2(a_i) [/mm] + [mm] Re^2(\tilde{a_i}) [/mm] - [mm] 2Re(\tilde{a_i})Re(a_i) [/mm] + [mm] Re^2(a_i) [/mm] + [mm] Im^2(\tilde{a_i}) [/mm] - [mm] 2Im(\tilde{a_i})Im(a_i) [/mm] + [mm] Im^2(a_i)$
[/mm]
$= [mm] Re^2(\tilde{a_i}) [/mm] + [mm] Im^2(\tilde{a_i}) [/mm] - [mm] 2Re(\tilde{a_i})Re(a_i) [/mm] - [mm] 2Im(\tilde{a_i})Im(a_i) [/mm] $
$= [mm] |\tilde{a_i}|^2 [/mm] - [mm] 2Re(\tilde{a_i})Re(a_i) [/mm] - [mm] 2Im(\tilde{a_i})Im(a_i) [/mm] $
Verwenden wir nun: [mm] $Re(a_i) [/mm] = [mm] Re(\overline{a_i})$ [/mm] sowie [mm] $Im(a_i) [/mm] = [mm] -Im(\overline{a_i})$, [/mm] erhalten wir erstmal:
[mm] $=|\tilde{a_i}|^2 [/mm] - [mm] 2(Re(\tilde{a_i})Re(\overline{a_i}) [/mm] - [mm] Im(\tilde{a_i})Im(\overline{a_i}))$
[/mm]
und daraus mit [mm] $Re(\tilde{a_i}\overline{a_i}) [/mm] = [mm] Re(\tilde{a_i})Re(\overline{a_i}) [/mm] - [mm] Im(\tilde{a_i})Im(\overline{a_i})$
[/mm]
[mm] $=|\tilde{a_i}|^2 [/mm] - [mm] 2Re(\tilde{a_i}\overline{a_i}) [/mm] $
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 06.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für die Auschlüsselung und die Mühe!
Ich war aber eher daran interessiert wie man zu dem Schritt mitels quadratischer Ergänzung kommt. Falls wer in diese Richtung noch Ideen hat wäre ich dankbar!
Vielen Dank,
Sissi
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Hiho,
wenn du das von unten nach oben liest (was im Beweis ja gemacht wird) ist das doch die quadratische Ergänzung!
Was meinst du, was beim dritten Gleichheitszeichen von oben passiert, wenn man es von unten liest und wo die quadratischen Terme herkommen?
Gruß,
Gono
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