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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 02.02.2012 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich will zur Kurvenschar [mm] $y=\frac{c}{x^2}$ [/mm] in der Viertelebene $x,y,c>0$ die Orthogonaltrajektorien bestimmen.
Hierzu ging ich bisher so vor:
Ableiten: [mm] $y'=\frac{-2c}{x^3}=-2\frac{y}{x}=:f(x,y)$.
[/mm]
Die zur Kurvenschar orthogonalen Kurven müssen der Differentialgleichung [mm] $y'=-\frac{1}{f(x,y)}=:g(x,y)$ [/mm] folgen (klar, da $<(1,f(x,y)),(1,g(x,y))>=0$ gilt).
Also die Lösungen von [mm] $y'=\frac{x}{2y}$ [/mm] stehen senkrecht auf obiger Kurvenschar.
Nun löse ich das Ganze und erhalte für Anfangswerte [mm] $x_0,y_0$ [/mm] die Funktion [mm] $y=\sqrt{\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}+y_0^2}$.
[/mm]
Und jetzt das Problem:
Das Ganze plotte ich in Mathematica, aber die Kurven, die ich herausbrachte (also [mm] $y(x)=\sqrt{\cdots}$) [/mm] verlaufen NICHT senkrecht zu den Kurven obiger Kurvenschar.
Wo liegt der Fehler? Bei der Berechnung? Bei der Interpretation?...
Grüße, Harris
PS: Der Plot findet sich unter
![[]](/images/popup.gif) diesem Link.
Der Mathematica-Code ist
s[x_, c_] := [mm] c/(x^2)
[/mm]
o[x_, x0_, y0_] := Sqrt[ [mm] x^2/2 [/mm] - [mm] x0^2/2 [/mm] + [mm] y0^2];
[/mm]
Plot[{s[x, 1/2], s[x, 1], s[x, 2], s[x, 3], s[x, 4], o[x, 1, 2],
o[x, 1, 3], o[x, 2, 1], o[x, 3, 1], o[x, 0.4, 0.1], o[x, 1, 1]}, {x,
0, 3}]
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Hallo Harris,
> Hi!
>
> Ich will zur Kurvenschar [mm]y=\frac{c}{x^2}[/mm] in der
> Viertelebene [mm]x,y,c>0[/mm] die Orthogonaltrajektorien bestimmen.
>
> Hierzu ging ich bisher so vor:
> Ableiten: [mm]y'=\frac{-2c}{x^3}=-2\frac{y}{x}=:f(x,y)[/mm].
>
> Die zur Kurvenschar orthogonalen Kurven müssen der
> Differentialgleichung [mm]y'=-\frac{1}{f(x,y)}=:g(x,y)[/mm] folgen
> (klar, da [mm]<(1,f(x,y)),(1,g(x,y))>=0[/mm] gilt).
>
> Also die Lösungen von [mm]y'=\frac{x}{2y}[/mm] stehen senkrecht auf
> obiger Kurvenschar.
>
> Nun löse ich das Ganze und erhalte für Anfangswerte
> [mm]x_0,y_0[/mm] die Funktion
> [mm]y=\sqrt{\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}+y_0^2}[/mm].
Du hast alles richtig berechnet.
Das Problem ist wohl der Mathematica-Plot.
> Und jetzt das Problem:
> Das Ganze plotte ich in Mathematica, aber die Kurven, die
> ich herausbrachte (also [mm]y(x)=\sqrt{\cdots}[/mm]) verlaufen NICHT
> senkrecht zu den Kurven obiger Kurvenschar.
>
> Wo liegt der Fehler? Bei der Berechnung? Bei der
> Interpretation?...
>
> Grüße, Harris
>
>
> PS: Der Plot findet sich unter
>
> diesem Link.
>
> Der Mathematica-Code ist
> s[x_, c_] := [mm]c/(x^2)[/mm]
> o[x_, x0_, y0_] := Sqrt[ [mm]x^2/2[/mm] - [mm]x0^2/2[/mm] + [mm]y0^2];[/mm]
> Plot[{s[x, 1/2], s[x, 1], s[x, 2], s[x, 3], s[x, 4], o[x,
> 1, 2],
> o[x, 1, 3], o[x, 2, 1], o[x, 3, 1], o[x, 0.4, 0.1], o[x, 1,
> 1]}, {x,
> 0, 3}]
Nimm z.B. den Punkt (1/1).
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{x^2}$ [/mm] und $y' [mm] \; [/mm] = [mm] \; -\frac{2}{x^3}$
[/mm]
Die Steigung im Punkt (1/1) ist: $y'(x=1) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] -2$
Deine orthogonale Trajektorie durch den Punkt (1/1):
$f(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}}$
[/mm]
$f'(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{x}{2*\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}}}$ [/mm] also $f'(x=1) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2}$
[/mm]
LG, Martinius
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![[]](http://imageshack.us/photo/my-images/641/kurven.png/){kind=small}
diesem Link.
