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Hallo,
Ich hab gar keine Ahnung wie man irgendwas orthonormalisieren soll, helft bitte folgende aufgabe zu lösen:
Für n [mm] \in \IN [/mm] seien [mm] f_{n} \in [/mm] T([0,1]) definiert durch:
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } 0 \le x \le \bruch{n}{n+1} \\ 0, & \mbox{ sonst.} \end{cases} [/mm]
Orthonormalisieren Sie die Folge [mm] (f_{n}) n\in\IN [/mm] bezüglich des Skalarprodukts in T([0,1]) : <f,g>:= [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)g(t)dt}
[/mm]
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Hallo johann1850,
> Ich hab gar keine Ahnung wie man irgendwas
> orthonormalisieren soll, helft bitte folgende aufgabe zu
> lösen:
Dann solltest Du Dich zunächst mal informieren. Kann man ![[]](/images/popup.gif) sowas verwenden? Bei einem konkreten Problem wird Dir hier sicher weitergeholfen.
Siehe auch: Forenregeln
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Do 05.05.2005 | | Autor: | johann1850 |
DAnke für den tipp, auf so was würde ich nie im Leben selber draufkommen!
Klar hab ich schon viel nachgelesen, ich verstehe es nur nicht, bin eben nicht so klug! Ich brauch immer paar aufgaben und beispielen um irgendwas zu verstehen, deswegen hab ich die aufgabe in Forum gestellt!!!
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Hallo johann1850,
Aus deinem Post werde ich nicht richtig schlau. Sind jetzt noch Fragen offen?
Was nicht in dem Artikel steht ist:
[mm] ||f||=\wurzel{}
[/mm]
Jetzt ist erstmal "stures" Einsetzen gefragt. Hattet ihr Gram-Schmidt-Orthogonalisierung in der Vorlesung?
gruß
mathemaduenn
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Was da stand hab ich alles verstanden! Vektoren zu orthonormalisieren ist nicht so schwer.
Das problem bei dieser aufgabe ist die Folge!
Man soll ja irgendwie die Folge orthonormalisieren und hier hab ich keine ahnung, ich weiß nicht was ich und wo einsetzen muss.
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Hallo johann1850,
Das Prinzip ist genau das gleiche nur das Skalarprodukt ist im angegebenen link ein anderes nämlich das des [mm] \IR^2. [/mm] Also mußt Du Dein Skalarprodukt und die zugehörige Norm in den Gram-Schmidt- Algorithmus(aus dem link) einsetzen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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Hi,
mein problem ist, dass ich nicht weiß was ich und wohin einsetzen muss!
Zeig mir doch mal wenigstens den ersten Schritt. Du weißt es doch wie es geht.
DANKE
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Hallo johann1850,
Für n [mm] \in \IN [/mm] seien [mm] f_{n} \in [/mm] T([0,1]) definiert durch:
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } 0 \le x \le \bruch{n}{n+1} \\ 0, & \mbox{ sonst.} \end{cases}
[/mm]
Das waren also deine Funktionen.
Das Skalarprodukt sah so aus.
<f,g>:= [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)g(t)dt}
[/mm]
Dann ist also
[mm] ||f_1||=\wurzel{\integral_{0}^{1}{f_1(t)^2dt}}=\wurzel{\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{1^2dt}}=?
[/mm]
und
[mm] =\wurzel{\integral_{0}^{1}{f_1(t)f_2(t)dt}}=?
[/mm]
Wo liegt jetzt genau das Problem?
Was soll eigentlich T([0,1]) bedeuten?
viele Grüße
mathemaduenn
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Ich bekomme dann für die Vektoren:
[mm] U_{1}= (f_{1})* \wurzel{2}
[/mm]
[mm] U_{2}= (f_{2}-f_{1})* \wurzel{6}
[/mm]
[mm] U_{3}= (f_{3}-f_{2})* \wurzel{12}
[/mm]
...
die allgemeine formel
[mm] U_{n}=( f_{n}-f_{n-1})* \wurzel{n(n+1)}
[/mm]
Und die kann ich leider nicht durch vollständige Induktion beweisen.
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Hallo johann1850,
Du hast also [mm]U_{n}=( f_{n}-f_{n-1})* \wurzel{n(n+1)}[/mm]
oder [mm] U_n(x)=\begin{cases} \wurzel{n(n+1)}, & \mbox{für } x \in ( \bruch{n-1}{n} , \bruch{n}{n+1}] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jetzt willst Du noch zeigen das die [mm] U_i [/mm] ein Orthonormalsystem zu den [mm] f_i [/mm] sind oder?
Also [mm] =0 [/mm] für [mm] i\not=j ||U_i||=1 [/mm] und die [mm] f_i [/mm] lassen sich als Linearkombination der [mm] U_i [/mm] darstellen. Dafür brauchst Du nicht unbedingt vollständige Induktion. Du kannst aber deinen bisherigen Ansatz gern schreiben dann kann Dir vielleicht auch jmd. einen Tipp geben wie's weitergehen kann.
viele Grüße
mathemaduenn
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