Orthogonalprojektion + Abstand < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde einfach nur gerne wissen, ob mein Ergebnis okay ist:
[mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_4 [/mm] sind die Vektoren, die U aufspannen. Also:
[mm] x_1 [/mm] = (2, 0, -1, 0, [mm] 2)^T
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = (1, 1, -3, -1, [mm] 2)^T [/mm]
[mm] x_3 [/mm] = (1, -3, 4, 2, [mm] 1)^T [/mm]
[mm] x_4 [/mm] = (6, -2, -1, 1, [mm] 7)^T
[/mm]
x = (3, 1, 2, -2, [mm] 1)^T
[/mm]
Gesucht ist die Orthogonalprojektion [mm] \pi(x)
[/mm]
Dazu bestimme ich zunächst die Orthonormalbasis unter Verwendung folgendes Schemas:
[mm] y_1 [/mm] := [mm] x_1
[/mm]
[mm] y_{k+1} [/mm] := [mm] x_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k} \frac{}{||y_i||^2} y_i, [/mm] k = 1, ..., n-1
Damit erhalte ich für die y's:
[mm] y_1 [/mm] = (2, 0, -1, 0, [mm] 2)^T
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = (-1, 1, -2, -1, [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] y_3 [/mm] = (-1, -1, 0, 0, [mm] 1)^T
[/mm]
[mm] y_4 [/mm] = (-12, 0, 6, 0, [mm] -12)^T
[/mm]
Und die Vektoren der Orthonormalbasis sind dann:
[mm] b_i [/mm] = [mm] \frac{y_i}{||y_i||}
[/mm]
Also:
[mm] b_1 [/mm] = [mm] \frac{y_1}{3}
[/mm]
[mm] b_2 [/mm] = [mm] \frac{y_2}{\wurzel{7}}
[/mm]
[mm] b_3 [/mm] = [mm] \frac{y_3}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] b_4 [/mm] = [mm] \frac{y_4}{18}
[/mm]
Nun zur Bestimmung von [mm] \pi(x):
[/mm]
[mm] \pi(x) [/mm] = <x, [mm] b_1> b_1 [/mm] + <x, [mm] b_2> b_2 [/mm] + <x, [mm] b_3> b_3 [/mm] + <x, [mm] b_4> b_4
[/mm]
= 2 [mm] b_1 [/mm] + [mm] \frac{-4 \wurzel{7}}{7} b_2 [/mm] - [mm] \wurzel{3} b_3 [/mm] - 2 [mm] b_4 [/mm]
= [mm] (\frac{89}{21}, \frac{3}{7}, \frac{-4}{21}, \frac{4}{7}, \frac{5}{3})^T
[/mm]
Abstand: d(x, U) = [mm] ||\pi(x)-x|| [/mm] = [mm] ||(\frac{89}{21}, \frac{3}{7}, \frac{-4}{21}, \frac{4}{7}, \frac{5}{3})^T [/mm] - (3, 1, 2, -2, [mm] 1)^T|| [/mm] = [mm] \frac{4 \wurzel{42}}{7} \approx [/mm] 3.7
Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
>
> folgende Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Würde einfach nur gerne wissen, ob mein Ergebnis okay ist:
>
> [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_4[/mm] sind die Vektoren, die U aufspannen. Also:
>
> [mm]x_1[/mm] = (2, 0, -1, 0, [mm]2)^T[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = (1, 1, -3, -1, [mm]2)^T[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = (1, -3, 4, 2, [mm]1)^T[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = (6, -2, -1, 1, [mm]7)^T[/mm]
>
> x = (3, 1, 2, -2, [mm]1)^T[/mm]
>
> Gesucht ist die Orthogonalprojektion [mm]\pi(x)[/mm]
>
> Dazu bestimme ich zunächst die Orthonormalbasis unter
> Verwendung folgendes Schemas:
>
> [mm]y_1[/mm] := [mm]x_1[/mm]
> [mm]y_{k+1}[/mm] := [mm]x_{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{k} \frac{}{||y_i||^2} y_i,[/mm]
> k = 1, ..., n-1
>
> Damit erhalte ich für die y's:
>
> [mm]y_1[/mm] = (2, 0, -1, 0, [mm]2)^T[/mm]
> [mm]y_2[/mm] = (-1, 1, -2, -1, [mm]0)^T[/mm]
> [mm]y_3[/mm] = (-1, -1, 0, 0, [mm]1)^T[/mm]
> [mm]y_4[/mm] = (-12, 0, 6, 0, [mm]-12)^T[/mm]
Wie kommst Du auf [mm]y_{4}[/mm]?
Nach meinen Rechnungen ist [mm]y_{4}[/mm] der Nullvektor.
>
> Und die Vektoren der Orthonormalbasis sind dann:
>
> [mm]b_i[/mm] = [mm]\frac{y_i}{||y_i||}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]b_1[/mm] = [mm]\frac{y_1}{3}[/mm]
>
> [mm]b_2[/mm] = [mm]\frac{y_2}{\wurzel{7}}[/mm]
>
> [mm]b_3[/mm] = [mm]\frac{y_3}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]b_4[/mm] = [mm]\frac{y_4}{18}[/mm]
>
> Nun zur Bestimmung von [mm]\pi(x):[/mm]
>
> [mm]\pi(x)[/mm] = <x, [mm]b_1> b_1[/mm] + <x, [mm]b_2> b_2[/mm] + <x, [mm]b_3> b_3[/mm] + <x,
> [mm]b_4> b_4[/mm]
>
> = 2 [mm]b_1[/mm] + [mm]\frac{-4 \wurzel{7}}{7} b_2[/mm] - [mm]\wurzel{3} b_3[/mm] - 2
> [mm]b_4[/mm]
>
> = [mm](\frac{89}{21}, \frac{3}{7}, \frac{-4}{21}, \frac{4}{7}, \frac{5}{3})^T[/mm]
>
> Abstand: d(x, U) = [mm]||\pi(x)-x||[/mm] = [mm]||(\frac{89}{21}, \frac{3}{7}, \frac{-4}{21}, \frac{4}{7}, \frac{5}{3})^T[/mm]
> - (3, 1, 2, -2, [mm]1)^T||[/mm] = [mm]\frac{4 \wurzel{42}}{7} \approx[/mm]
> 3.7
> 3
> Richtig?
Zur Orthogonalprojektion brauch ich keine Orthogonalbasis.
Ist [mm]U=\left[u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3}, \ u_{4}\right][/mm]
so ist die orthogonale Projektion von x auf U durch das folgende Gleichungssystem bestimmt:
[mm]\left(x-\alpha u_{1}-\beta u_{2} -\gamma u_{3} - \delta u_{4}\right) \* u_{1}=0[/mm]
[mm]\left(x-\alpha u_{1}-\beta u_{2} -\gamma u_{3} - \delta u_{4}\right) \* u_{2}=0[/mm]
[mm]\left(x-\alpha u_{1}-\beta u_{2} -\gamma u_{3} - \delta u_{4}\right) \* u_{3}=0[/mm]
[mm]\left(x-\alpha u_{1}-\beta u_{2} -\gamma u_{3} - \delta u_{4}\right) \* u_{4}=0[/mm]
mit den zu bestimmenden Parametern [mm]\alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta[/mm]
Die orthogonale Projektion ergibt sich dann zu [mm]x-\alpha u_{1}-\beta u_{2} -\gamma u_{3} - \delta u_{4}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für deine Antwort. Habe nun [mm] y_4 [/mm] nochmals nachgerechnet. Komme nun auch auf den Nullvektor. Aber das kann doch eigentlich nicht sein - oder? Oh - ich sehe gerade, dass ich meine [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] wohl falsch gewählt habe. In meinem Skript steht:
Sei dim V = n und B' = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] eine Basis von V. Wir definieren zunächst induktiv eine Orthogonalbasis [mm] \overline{B} [/mm] = [mm] (y_1, [/mm] ..., [mm] y_n) [/mm] von V und normieren die Basisvektoren anschließend.
Ich habe meine [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] aus dem Erzeugendensystem von U genommen. Aber ich hätte für [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] die Basis des [mm] \IR^5 [/mm] nehmen sollen. Also [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] = [mm] e_1, [/mm] ..., [mm] e_n. [/mm] Richtig? Und dann die ganze Rechnerei nochmals. Richtig?
Update: Sorry - habe mich wohl vertan. Das Vorgehen von mir stimmt scheinbar schon. Aber falls [mm] y_4 [/mm] = 0 - wie kann ich [mm] y_4 [/mm] dann normieren? Denn das muss ich ja. Oder fällt [mm] y_4 [/mm] als Teil der Orthonormalbasis weg?
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
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> danke für deine Antwort. Habe nun [mm]y_4[/mm] nochmals
> nachgerechnet. Komme nun auch auf den Nullvektor. Aber das
> kann doch eigentlich nicht sein - oder? Oh - ich sehe
> gerade, dass ich meine [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] wohl falsch gewählt
> habe. In meinem Skript steht:
>
> Sei dim V = n und B' = [mm](x_1,[/mm] ..., [mm]x_n)[/mm] eine Basis von V.
> Wir definieren zunächst induktiv eine Orthogonalbasis
> [mm]\overline{B}[/mm] = [mm](y_1,[/mm] ..., [mm]y_n)[/mm] von V und normieren die
> Basisvektoren anschließend.
>
> Ich habe meine [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] aus dem Erzeugendensystem von
> U genommen. Aber ich hätte für [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] die Basis des
> [mm]\IR^5[/mm] nehmen sollen. Also [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] = [mm]e_1,[/mm] ..., [mm]e_n.[/mm]
> Richtig? Und dann die ganze Rechnerei nochmals. Richtig?
Fakt ist, das sich ein Vektor aus U als Linearkombination der drei anderen Vektoren aus U darstellen läßt.
Gruß
MathePower
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Ah okay. Das ist es also. Ich muss zunächst diesen Vektor finden und ihn bei meiner Rechnung einfach nicht berücksichtigen - oder? Sprich: Ich finde eine Basis von U und finde dann eine ONB zu den Basisvektoren von U. Dann sollte ich keine Nullvektoren in der ONB finden.
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Hallo abi2007LK,
> Ah okay. Das ist es also. Ich muss zunächst diesen Vektor
> finden und ihn bei meiner Rechnung einfach nicht
> berücksichtigen - oder? Sprich: Ich finde eine Basis von U
> und finde dann eine ONB zu den Basisvektoren von U. Dann
> sollte ich keine Nullvektoren in der ONB finden.
>
So isses.
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke und nun die letzte Störung:
Ich habe die Vektoren von U als Spalten in eine Matrix genommen und mit dem Gaußverfahren umgeformt und bin auf folgende Matrix gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-1}{6} & \frac{-3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Heißt ich kann jetzt mit den Vektoren:
[mm] x_1 [/mm] = (1, 0, 0, [mm] \frac{1}{6}, \frac{1}{2})^T
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = (0, 1, 0, [mm] \frac{-1}{6}, \frac{-3}{2})^T
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = (0, 0, 1, [mm] \frac{1}{3}, -1)^T
[/mm]
weiterrechnen? Sorry, aber jetzt bin ich vorsichtig geworden. Bevor ich nochmal so viel rumrechne, obwohl der Ansatz schon falsch ist.
Wie ist das eigentlich grundsätzlich: Angenommen die obenstehende Matrix wäre quadratisch und beim Gaußalgorithmus würde am Ende die Einheitsmatrix stehen. Dann kann ich statt mit den Vektoren, die U erzeugen einfach mit der kanonischen Basis rechnen? So einen Fall habe ich nämlich bei einer anderen Aufgabe. Dies würde die Sache echt erleichtern... eigentlich müsste man das doch können. Am Ende normiert man das doch eh...
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
>
> danke und nun die letzte Störung:
>
> Ich habe die Vektoren von U als Spalten in eine Matrix
> genommen und mit dem Gaußverfahren umgeformt und bin auf
> folgende Matrix gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-1}{6} & \frac{-3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hier wurden wohl eher die Vektoren von U als Zeilen in eine Matrix geschrieben.
>
> Heißt ich kann jetzt mit den Vektoren:
>
> [mm]x_1[/mm] = (1, 0, 0, [mm]\frac{1}{6}, \frac{1}{2})^T[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = (0, 1,
> 0, [mm]\frac{-1}{6}, \frac{-3}{2})^T[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = (0, 0, 1,
> [mm]\frac{1}{3}, -1)^T[/mm]
>
> weiterrechnen? Sorry, aber jetzt bin ich vorsichtig
> geworden. Bevor ich nochmal so viel rumrechne, obwohl der
> Ansatz schon falsch ist.
Hier kannst Du in erster Linie erstmal herauslesen, daß es einen Vektor gibt, der sich als Linearkombination der anderen 3 Vektoren darstellen läßt.
>
> Wie ist das eigentlich grundsätzlich: Angenommen die
> obenstehende Matrix wäre quadratisch und beim
> Gaußalgorithmus würde am Ende die Einheitsmatrix stehen.
> Dann kann ich statt mit den Vektoren, die U erzeugen
> einfach mit der kanonischen Basis rechnen? So einen Fall
> habe ich nämlich bei einer anderen Aufgabe. Dies würde die
> Sache echt erleichtern... eigentlich müsste man das doch
> können. Am Ende normiert man das doch eh...
Das sagt in erster Linie aus, daß die Vektoren in U linear unabhängig sind.
Gruß
MathePower
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Ja - sorry. Habe die Vektoren als Spalten der Matrix genommen. Entscheidende Frage: Kann ich mit den Zeilen 1-3 (als Vektor geschrieben) nun die ONB zu U ausrechnen? Oder muss ich das mit den "originalen" Vektoren tun, die U aufspannen - abgesehen von dem, der Linearkombination der anderen ist.
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Hallo abi2007LK,
> Ja - sorry. Habe die Vektoren als Spalten der Matrix
> genommen. Entscheidende Frage: Kann ich mit den Zeilen 1-3
> (als Vektor geschrieben) nun die ONB zu U ausrechnen? Oder
> muss ich das mit den "originalen" Vektoren tun, die U
> aufspannen - abgesehen von dem, der Linearkombination der
> anderen ist.
Das musst mit den originalen Vektoren aus U gemacht werden.
Gruß
MathePower
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