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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mo 25.07.2005 | | Autor: | nixfix |
Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung:
Konstruieren Sie mit Hilfe des Sklarproduktes die Spiegelung an der Geraden r = t * (3 0 [mm] 4)^t
[/mm]
Die Lösung ist bekannt:
Geradengleichung r = p + t * u
S = 2(a-p) + p
S = 2a - p
Diese Lösung kann ich mir duch Vektoraddition nachvollziehen indem ich von einem Anfangspunkt den Stützvektor p einzeichne und an diesen den Richtungsvektor u, dann den Anfangspunkt mit dem Ende von u verbinde und diesen Vektor a nenne.
Nicht klar ist mir allerdings warum a = [mm] \bruch{p * u}{ u * u} [/mm] * u ist
Dies ist doch eine Orthogonalprojektion des Vektors p auf u, was mir leider nicht einleuchten will.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, nixfix,
Zeichne den Vektor [mm] \vec{p} [/mm] und den Vektor [mm] \vec{u} [/mm] vom gleichen Aufpunkt O aus. Der Winkel zwischen beiden Vektoren wird [mm] \phi [/mm] genannt.
(Wir betrachten hier nur den Fall, dass [mm] \phi [/mm] zwischen 0 und 90° liegt; der andere Fall ergibt sich aber analog!)
Dann zeichne in diese Skizze vom Endpunkt P des Vektors [mm] \vec{p} [/mm] das Lot auf den Vektor [mm] \vec{u} [/mm] (bzw. dessen Verlängerung); Lotfußpunkt: A.
Der [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] hat dieselbe Richtung wie [mm] \vec{u}. [/mm] daher benötigen wir nur noch seine Länge [mm] \overline{OA}; [/mm] dann ist:
[mm] \overrightarrow{OA} [/mm] = [mm] \overline{OA}*\vec{u}^{o}
[/mm]
Um [mm] \overline{OA} [/mm] zu bestimmen, verwenden wir die Definition des Cosinus am rechtwinkligen Dreieck (Das Dreieck OAP ist ja rechtwinklig bei A):
[mm] cos(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{\overline{OA}}{\overline{OP}}
[/mm]
und daraus: [mm] \overline{OA} [/mm] = [mm] cos(\phi)*\overline{OP}
[/mm]
Vergleichen wir nun die rechte Seite mit dem Skalarprodukt von [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{u}^{o}, [/mm] so ergibt sich dasselbe Ergebnis, weil der Betrag von [mm] \vec{u}^{o} [/mm] ja =1 ist!
[mm] \vec{p} \circ \vec{u}^{o} [/mm] = [mm] \overline{OP}*1*cos(\phi)
[/mm]
Also ist [mm] \overline{OA} [/mm] = [mm] \vec{p} \circ \vec{u}^{o}
[/mm]
und somit [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] = [mm] (\vec{p} \circ \vec{u}^{o})*\vec{u}^{o} [/mm]
was dasselbe ist wie der von Dir notierte Ausdruck!
(Wenn Du [mm] \vec{u}^{o} [/mm] bestimmst, musst Du ja durch den Betrag von [mm] \vec{u} [/mm] dividieren; dies ist in der Formel 2 mal nötig; daher kannst Du auch gleich durch [mm] \vec{u}\circ\vec{u} [/mm] dividieren!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mo 25.07.2005 | | Autor: | nixfix |
Vielen danke erst mal für deine Antwort. Leider hilft Sie mir nicht weiter(nicht in der Herleitung des Skalarproduktes liegt mein Problem, sorry hätte ich im Urspungsbeitrag dabei schreiben sollen). Das Problem liegt hier:
Der [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] hat dieselbe Richtung wie [mm] \vec{u}. [/mm] daher benötigen wir nur noch seine Länge [mm] \overline{OA}; [/mm] dann ist:
Mir ist einfach nicht klar warum a = [mm] \overline{OA} [/mm] bzw. was das überhaupt mit meinem gesuchten a zu tun hat.
Ausgehend von deinem Ansatz, wenn ich nun den Vektor u bzw. OA am Vektor p ansetzen würde(also parallel verschieben). Dann O mit dem Ende von OA verbinde, hab ich nicht erst dann mein gesuchtes a? Und beide können doch nicht OA sein da Sie doch in verschiedene Richtungen zeigen oder? Ich vermute mal stark das ich ein starkes Verständnisproblem zwischen Pfeilen eines Vektors und Vektoren an sich habe :(
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Hi, Nixfix,
EIN Problem ist zunächst mal, dass Deine Aufgabe nicht eindeutig formuliert ist. Ich versuch's mal so:
Gegeben ist die (Ursprungs-) Gerade r: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] t*\vektor{3 \\ 0 \\ 4}.
[/mm]
(Den Richtungsvektor dieser Geraden nenne ich -wie Du vorgeschlagen hast- [mm] \vec{u})
[/mm]
An dieser Geraden soll der Punkt P gespiegelt werden. Der Spiegelpunkt wird S genannt. Berechne eine "Formel" für die Koordinaten des Punktes S.
War das die Aufgabe?
Dann wird Deine Zeichnung so aussehen, dass Du zunächst ein gleichschenkliges Dreieck OPS mit Grundlinie [PS] und den beiden Schenkeln [OP] und [OS] hast.
Analog zu Deinen Benennungen sei A der Mittelpunkt der Grundlinie [PS].
Verlängere die Höhe [OA] über A hinaus auf das Doppelte (Endpunkt R) und Du erhältst das Parallelogramm OPRS.
In diesem Parallelogramm ist der Punkt A
- einerseits der Schnittpunkt der Diagonalen OR und PS,
- andererseits (und viel wichtiger!) der Fußpunkt des Lotes, das vom Punkt P auf die Gerade OR gefällt wird. (Diese Gerade aber ist genau die anfangs gegebene Gerade r, an der der Punkt P gespiegelt werden soll!)
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 09.08.2005 | | Autor: | nixfix |
Nochmal vielen Dank für die viele Arbeit die du dir machst und sorry das ich mich so lange nicht gemeldet habe.
So nun habe ich das Problem wohl recht genau lokalisiert.
Du schreibst "
der Fußpunkt des Lotes, das vom Punkt P auf die Gerade OR gefällt wird.
(Diese Gerade aber ist genau die anfangs gegebene Gerade r, an der der Punkt P gespiegelt werden soll!) "
Warum ist die Gerade OR die gegebene Gerade r ??? Ich bin immer davon ausgegangen PS ist r, bwz. zeigt in Richtung der Geraden durch den gegebenen Richtungsvektor. Wobei in unserem Beispiel OR nach oben zeigt und PS nach rechts, zwar mit der gleichen Länge. Aber sie zeigen doch nun mal in ganz andere Richtungen.
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Ich könnte mir vorstellen, daß dein Problem in einer Bezeichnerkollision liegt. Du verwendest nämlich den Bezeichner [mm]r[/mm] einmal als Name für eine Gerade und gleichzeitig als Name für einen variablen Ortsvektor, mit dem die Punkte der Geraden beschrieben werden. Das geht aber nicht.
falsch:
[mm]r: \ \ r = p + tu[/mm]
richtig:
[mm]r: \ \ x = p + tu[/mm]
noch besser:
[mm]r: \ \ \vec{x} = \vec{p} + t \vec{u}[/mm]
Natürlich kannst du auch [mm]\vec{r}[/mm] statt [mm]\vec{x}[/mm] schreiben. Aber dann darfst du die Gerade nicht [mm]r[/mm] nennen. Übliche Bezeichner für Geraden sind [mm]g,h,\text{...}[/mm]
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