Orthogonalprojektion < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Sa 30.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 7.
$v [mm] \in \IR^{n} (\ne [/mm] 0)$ sei ein Vektor der Länge $1$. Es soll nachgerechnet werden, dass die Abbildung [mm] $P:\IR^{n} \rightarrow \IR^{n}$ [/mm] definiert durch $P(w)=<w,v>v$ linear ist und dass für alle $v [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] gilt:
$<w-P(w),v>=0$.
Bezeichne $g= lin(v) [mm] \subset \IR^{n}$ [/mm] die von $v$ erzeugte Gerade. Man schliesse nun, dass die Abbildung $P$ die orthogonale Projektion von [mm] $\IR^{n}$ [/mm] auf die Gerade $g$ beschreibt. Was misst also das Skalarprodukt von $ w$ und $v$? Wenn $n=3$ und [mm] $v=\frac{1}{\sqrt{14}}\vektor{-2\\1\\3}$, [/mm] durch welche Matrix wird die Abbildung P dann beschrieben? |
Hallo!
[mm] $P(w)=v\summe_{k=1}^{n}{v_{k}w_{k}}$
[/mm]
$<w-P(w),v>= [mm] \summe_{k=1}^{n}{(w-v\summe_{k=1}^{n}{v_{k}w_{k}})_{k}v_{k}}=\summe_{k=1}^{n}w_{k}v_{k}-2v_{k}\summe_{k=1}^{n}v_{k}w_{k}$
[/mm]
Das scheint aber nie 0 zu geben so wie in der Voraussetzung gefordert...
zu b)
Das Skalarprodukt misst hier den Winkel?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du P(w) nicht erst in der Summenschreibweise schreist , was gibt dann P(w)*v Beachte dass v ein Einheitsvektor ist.
2. w-P(w) steht senkrecht auf v also ist P(w) die Komponente von w in Richtung der Geraden, also genau die senkrechte Projektion von w.
(Winkelmaße kann man so definieren, aber es ist nicht der Winkel)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 So 31.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Die erste habe ich verstanden: wenn v ein Einheitsvektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] oder [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] oder [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] ist, dann wird das Skalarprodukt mit einem Vektor $w$ nur die 1-er Komponente gestreckt geben. Und multipliziert mit dem Einheitsvektor einfach nur den gestreckten Einheitsvektor.
Wenn ich dann von w diese Komponente abziehe bleibt so was wie [mm] \vektor{0\\y\\z} [/mm] oder [mm] \vektor{x\\0\\z} [/mm] oder [mm] \vektor{x\\y\\0} [/mm] übrig. Und wenn ich dann das Skalarprodukt mache mit demselben Einheitsvektor kommt nichts dabei heraus, weil die einzige Einserkomponente immer nur mit der 0er Komponente aus w-P(w) multipliziert wird.
Wie notiere ich das formal?
Zu 2.
Also die Länge der Gerade g!
Danke !
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> Hallo!
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> Die erste habe ich verstanden:
Hallo,
Du hast etwas ganz Wesentliches nicht verstanden:
wenn v ein Einheitsvektor ist, dann heißt das noch lange nicht, daß v einer der Vektoren
[mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] ist.
Es gibt ja noch viele andere Einheitsvektoren!
Für die Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] stimmt das, was Du schriebst, auch wenn die Formulierungen lupenrein sind.
Du mußt das aber wirklich allgemein untersuchen - nicht nur für den Fall, daß v ein Standardbasisvektor ist, und nicht nur für den [mm] \IR^3, [/mm] sondern für den [mm] \IR^n.
[/mm]
Sei [mm] v\in \IR^n [/mm] ein Einheitsvektor, und sei
P: [mm] \IR^n \to \IR^n
[/mm]
mit
P(w):=<w,v>v.
Zeigen möchtest Du nun, daß für alle [mm] w\in \IR^n [/mm] gilt $ <w-P(w),v>=0 $.
Arbeite nicht komponentenweise, sondern nutze die Eigenschaften des Skalarproduktes, und natürlich die Definition von P.
<w-P(w),v>= <w,v>-<P(w),v> = ...
> Zu 2.
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> Also die Länge der Gerade g!
??? Irgendwie scheint Dir nicht klar zu sein, was eine Gerade ist...
Geraden sind unendlich lang.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 31.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Also sieht meine 1) jetzt so aus:
Zuerst zeige ich noch die Linearität der Abbildung P, das hatte ich vergessen:
$ 1. P(w+a)=<w+a,v>v=<w,v>v+<a,v>v=P(w)+P(a) $
$2. P( [mm] \lambda [/mm] w)= [mm] <\lambda [/mm] w , v > v = [mm] \lambda \summe_{k=1}^{n}{w_{k}v_{k}}\cdot [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] <w,v>v = [mm] \lambda [/mm] P(w)$
Dann $<w-P(w),v>=0$:
$ <w,v>- [mm] <v_{k} \cdot v_{k} [/mm] > = [mm] -<v_{k}^{2}>= [/mm] <w,v>-<w,v>=0$
Zu 2.
Ok, aber es gibt die Länge des Richtungsvektors an?
Stimmt das so weit?
Danke .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
welches Richtungsvektors? aber eigentlich egal, welchen du meinst, Nein.
Zeichne irgendeine Gerade, darauf einen Vektor v der Länge 1, dann ein w nicht auf der Geraden. kannst du dann sagen was P(w)ist? (das ist zwar nur 2d, aber Geraden * 1 Vektor liegen immer in einem 2d- Raum
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Das ergibt einen verlängerten Vektor v? Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, und dann mal den Vektor eine Streckung des Vektors.
Wieso ist das falsch??
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> Das ergibt einen verlängerten Vektor v?
Hallo,
ja, P(w) ist ein Vielfaches von v.
> Das Skalarprodukt
<w,v>
> ergibt eine Zahl,
ihr Betrag ist die Länge der (orthogonalen) Projektion von w auf die Gerade g.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mi 03.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Das meinte ich mit der Länge! Die neue Länge halt...
"Wenn $n=3$ und [mm] $v=\frac{1}{\sqrt{14}}\vektor{-2\\1\\3}$ [/mm] und , durch welche Matrix wird die Abbildung P dann beschrieben?"
Jetzt nehme ich [mm] $e_{1}=\vektor{1\\0\\0}, e_{2}=\vektor{0\\1\\0}, e_{3}=\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]
Bilde die ab, setze sie zusammen und das ist dann die Matrix, richtig?
Dabei erhalte ich diese Matrix:
[mm] $\vektor{\frac{2}{7}&\frac{-2}{14} &\frac{-3}{7} \\ \frac{-1}{7} &\frac{1}{14} & \frac{3}{14}\\ \frac{-3}{7} & \frac{3}{14}& \frac{9}{14}} [/mm] $
Danke
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> "Wenn [mm]n=3[/mm] und [mm]v=\frac{1}{\sqrt{14}}\vektor{-2\\
1\\
3}[/mm] und ,
> durch welche Matrix wird die Abbildung P dann
> beschrieben?"
>
> Jetzt nehme ich [mm]e_{1}=\vektor{1\\
0\\
0}, e_{2}=\vektor{0\\
1\\
0}, e_{3}=\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
>
>
>
> Bilde die ab, setze sie zusammen und das ist dann die
> Matrix, richtig?
>
> Dabei erhalte ich diese Matrix:
> [mm]\vektor{\frac{2}{7}&\frac{-2}{14} &\frac{-3}{7} \\
\frac{-1}{7} &\frac{1}{14} & \frac{3}{14}\\
\frac{-3}{7} & \frac{3}{14}& \frac{9}{14}}[/mm]
Hallo,
die erste Spalte stimmt jedenfalls, die andeen hab' ich nicht geprüft. Du scheinst es verstanden zu haben jetzt.
Gruß v. Angela
>
>
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mi 03.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Dankeschön!!!!!!!!!!!
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