Orthogonalität zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind zwei Punkte A und B und eine Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung einer Ebene F, für die gilt: F geht durch die Punkte A und B und ist zur Ebene E orthogonal
A (2/-1/7) ; B (0/3/9) E: 2x +2y +z = 7 |
Habe alles probiert um diese Aufgabe zu lösen jedoch ohne Erfolg. Würde mich sehr über einen Lösungsansatz freuen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 15.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zuerst schreibst du die gegebenene Ebene E in Normalenform.
Also: E: [mm] \vektor{2\\2\\1}*\vec{x}=7 [/mm]
Dann hast du einen Richtungsvektor der gesuchten Ebene, ich nenne sie mal F. Als Stützvektor kannst du [mm] \vec{b} [/mm] nutzen.
Also F: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\3\\9}+\lambda\vektor{2\\2\\1}+\nu\vec{u}
[/mm]
Der Unbekante Vektor u ist jetzt noch zu bestimmen.
Dazu bildest du die Normalenform von F
Also (mit Hilfe des Kreuzproduktes) [Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \vec{n_{F}}=\vektor{2\\2\\1}\times\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{2u_{3}-u_{2}\\u_{1}-2u_{3}\\u_{2}-2u_{1}}
[/mm]
Jetzt soll ja gelten A [mm] \in [/mm] F.
Also [mm] \vektor{2u_{3}-u_{2}\\u_{1}-2u_{3}\\u_{2}-2u_{1}}*\vektor{2\\-1\\7}=d_{F}
[/mm]
Und, da ja B [mm] \in [/mm] F liegen soll:
[mm] \vektor{2u_{3}-u_{2}\\u_{1}-2u_{3}\\u_{2}-2u_{1}}*\vektor{0\\3\\9}=d_{F}
[/mm]
Also kann ich beides nun Gleichsetzen.
[mm] \vektor{2u_{3}-u_{2}\\u_{1}-2u_{3}\\u_{2}-2u_{1}}*\vektor{2\\-1\\7}=\vektor{2u_{3}-u_{2}\\u_{1}-2u_{3}\\u_{2}-2u_{1}}*\vektor{0\\3\\9}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt einen möglichen Vektor [mm] \vec{u} [/mm] bestimmen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
genau wie Marius hätte ich den Normalen-Vektor von E als ersten Richtungsvektor genommen.
Aber warum als zweiten nicht einfach den Vektor [mm] $\overrightarrow{AB}$, [/mm] er ist ja nicht kollinear zum Normalenvektor?
fragt sich
ardik
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