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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
| Aufgabe | Sei [mm] C_{0}([0,2\pi]) [/mm] mit dem Skalarprodukt
<f,g> [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(t)\overline{g(t)} dt}
[/mm]
ausgestattet. Zeigen sie, dass die Funktionen 1,cos(nx),sin(nx) ,n=1,2,3... ein Orthogonalsystem bilden. Normieren sie sie um ein Orthonormalsystem daraus zu machen. |
Na gut, jetzt wo ich hoffentlich alles richtig abgeschrieben habe... :P
Wenn sie ein Orthogonalsystem bilden, heißt das doch, dass die Skalarprodukte 0 sind. Also kann ich ja einfach einsetzen und ausrechen und fertig?
Nur versteh ich erstens schon nicht, was der Strich über g(t) zu bedeuten hat und dann, wenn ich z.B cos(nx) als f(t) betrachte...ist das Argument dann x anstatt t oder ist das t was anderes?
Wenn das jemand versteht bitte sagen :)
Ich würde das gern erst verstehen bevor ich es mache und besonders bevor ich orthonormiere...
Danke
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]C_{0}([0,2\pi])[/mm] mit dem Skalarprodukt
>
> <f,g> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(t)\overline{g(t)} dt}[/mm]
>
> ausgestattet. Zeigen sie, dass die Funktionen
> 1,cos(nx),sin(nx) ,n=1,2,3... ein Orthogonalsystem bilden.
> Normieren sie sie um ein Orthonormalsystem daraus zu
> machen.
> Na gut, jetzt wo ich hoffentlich alles richtig
> abgeschrieben habe... :P
>
> Wenn sie ein Orthogonalsystem bilden, heißt das doch, dass
> die Skalarprodukte 0 sind.
Ja, für f [mm] \ne [/mm] g
> Also kann ich ja einfach
> einsetzen und ausrechen und fertig?
Ja
>
> Nur versteh ich erstens schon nicht, was der Strich über
> g(t) zu bedeuten hat
das bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von g(t).
Da die funktionen 1,cos(nx),sin(nx) ,n=1,2,3... alle reellwertig sind, kannst Du den Strich einfach weglassen
> und dann, wenn ich z.B cos(nx) als
> f(t) betrachte...ist das Argument dann x anstatt t oder ist
> das t was anderes?
sei doch ein wenig flexibel:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \integral_{a}^{b}{f(t) dt}= \integral_{a}^{b}{f(w) dw}= \integral_{a}^{b}{f(Gerus) dGerus}= [/mm] .......
FRED
>
> Wenn das jemand versteht bitte sagen :)
>
> Ich würde das gern erst verstehen bevor ich es mache und
> besonders bevor ich orthonormiere...
>
> Danke
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
Wie antworte ich hier richtig?
na gut dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(nx) sin(nx) dx} [/mm] = 1*0 - 1*0 = 0
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{1 sin(nx) dx} [/mm] = 1*0 - 1*0 = 0
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{1 cos(nx) dx} [/mm] = 1*1 - 1*1 = 0
hab ich damit alles gezeigt?
Und dann orthonormieren mit Gram-Schmidt?
Danke :)
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Hallo Gerus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie antworte ich hier richtig?
>
> na gut dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(nx) sin(nx) dx}[/mm] = 1*0 - 1*0 = 0
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{1 sin(nx) dx}[/mm] = 1*0 - 1*0 = 0
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{1 cos(nx) dx}[/mm] = 1*1 - 1*1 = 0
>
> hab ich damit alles gezeigt?
Damit hast Du gezeigt, daß [mm]1,\sin\left(nx\right),\cos\left(nx\right)[/mm]
ein Orthognalsystem bilden.
>
> Und dann orthonormieren mit Gram-Schmidt?
Gram-Schmidt benötigst Du hier nicht.
Vielmehr sind noch die Skalarprodukte
[mm]<1,1>, \ <\sin\left(nx\right),\sin\left(nx\right)>, \<\cos\left(nx\right),\cos\left(nx\right)>[/mm] zu berechnen.
Dann kannst Du orthonormieren.
>
> Danke :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
Die sind wieder jeweils 0, aber wie kann ich dann einfach so orthonormieren?
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Hi Gerus,
Du hast mithilfe des Skalarproduktes ja schon gezeigt, dass die Vektoren Orthogonal zueinander stehen. Was du möchtest ist nun nicht nur ein Orthogonalsystem, sondern ein Orthonormalsystem. Mache dir doch mal klar, was das bedeutet: Nunja, die „Länge“ des jeweiligen Basisvektors ist zusätzlich noch auf 1 normiert-das erreicht man, indem man den jeweiligen Basisvektor durch seinen Betrag teilt. Der Betrag ist doch definiert als Skalarprodukt eines Elements u [mm] \in [/mm] V (V: Vektorraum) mit sich selbst und daraus die Wurzel, also [mm] \wurzel{}. [/mm] Und das Skalarprodukt in deinem Vektorraum ist eben mit diesem Integral definiert. Damit solltest du doch jetzt weiter kommen hoffe ich? Viel Erfolg! Theoretix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
naja aber wenn die Skalaprodukte mit sich selbst aller 3 vektoren 0 sind, dann ist auch deren wurzel 0 und somit der betrag.
dann kann ich nicht z.b sin(nx) durch 0 dividieren...heißt dass dann, dass die orthonormierte basis nicht existiert bzw. nicht definiert ist?
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> naja aber wenn die Skalaprodukte mit sich selbst aller 3
> vektoren 0 sind, dann ist auch deren wurzel 0 und somit der
> betrag.
Wieso das denn?
Wenn man mal das Skalarprodukt von Sinus betrachtet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx)*sin(nx) dx}. [/mm] Die Stammfunktion von Sinus ist doch -cosinus und der ist doch bei [mm] 2\pi [/mm] und 0 nicht=0??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
oha ja das ergibt sinn... :)
aber dann muss ich hier [mm] sin^2 [/mm] (nx) integrieren...da ist dann gram schmidt doch auch nicht viel aufwändiger...
Ok ich hab das jetzt mit wolfram integrals integriert:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin^2 (nx) dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2nx)}{4n} [/mm] in den Grenzen 0 bis [mm] 2\pi [/mm] ist das [mm] \pi
[/mm]
Für Cosinus ein bisschen ein anderes integral, in den Grenzen aber wieder [mm] \pi
[/mm]
Für 1 ist das Integral x, von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] natürlich [mm] 2\pi
[/mm]
Daraus zieh ich dann die Wurzeln. Somit hätte ich die 2 Beträge. Jetzt dividiere ich die ursprünglichen Funktionen dadurch und hab somit ein orthonormiertes System.
Mir kommt das etwas spanisch vor, aber ist es richtig?
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Das gesamte Gram Schmidt Verfahren hat hier nicht allzuviel verloren!
Denn, was macht denn Gram Schmidt?
Ganz allgemein: Du hast einen euklidischen oder unitären Vektorraum und dazu eine linear unabhängige Familie von Vektoren [mm] (v_{1},...,v_{n}). [/mm] D.h. diese Vektoren spannen einen bestimmen Raum auf: [mm] span(v_{1},...,v_{n}):=\{\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}:\alpha_{i},...,\alpha_{n}\in K\}-kurz [/mm] gesagt: Der aufgespannte Raum entsteht durch die Linearkombination der linear unabhängigen [mm] Vektoren(v_{1},...,v_{n}), [/mm] wobei diese nicht alle linear unabhngig sein müssen, um einen Raum aufzuspannen. Allerdings ist das die Forderung, um Gram Schmidt anwenden zu können.
Gram Schmidt macht jetzt folgendes: Du bastelst dir damit aus diesen linear unabhängigen Vektoren eine Orthonormalbasis. Das bedeutet: die Vektoren, die du mit Gram & Schmidt berechnest, nennen wir sie [mm] (u_{1},...,u_{n})\in \V [/mm] (Vektorraum) spannen genau denselben Raum auf, ABER stehen alle senkrecht aufeinander. Um die das zu veranschaulichen: Nimm dir den [mm] \IR^2: [/mm] 2 beliebige linear unabhängige Vektoren, z.B. [mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 3} [/mm] und [mm] vec{b}=\vektor{2 \\ 5}. [/mm] Diese sind zwar eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] aber KEINE orthonormalbasis, d.h. du kannst mit einer linearkombination der beiden Vektoren a und b zwar jeden beliebigen Vektor im [mm] \IR^2 [/mm] darstellen, aber diese beiden Vektoren stehen nicht senkrecht zueinander.
Der Gram & Schmidt Algorithmus liefert dir also lediglich Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, und denselben Raum aufspannen.
So, nun sollte dir klar sein, weshalb du Gram Schmidt hier gar nicht benötigst: Deine Vektoren stehen doch schon senkrecht aufeinander, das ist also unnötig=) Teil des Gram Schmidt Verfahrens ist es jedoch, die jeweils berechneten Vektoren noch zu NORMIEREN, damit du wirklich eine orthoNORMAL und keine orthoGONAL-Basis erhälst. Also hast du keine Wahl hier entweder durch dein Betrag zu teilen, oder aber Gram & Schmidt anzuwenden=)
Hoffe, das hat geholfen?
Gruß
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Hab die Integrale jetzt nicht überprüft, aber wenn man davon ausgeht, dass die Berechnung der Beträge stimmt, teilst du den jeweiligen Vektor durch seinen Betrag und machst damit aus deiner Orthogonalbasis eine Orthonormalbasis.
Bei einer Orthogonalbasis stehen einfach alle Vektoren senkrecht aufeinander, wohingegen sie bei einer orhonormalbasis zusätzlich die Länge „1“ haben.
Wenn dich das noch ein wenig verwirrt: Jedem Vektor kann man doch bezüglich seiner Norm eine „Länge“ zuordnen (es wird sich noch zeigen, dass man in allgemeinen Vektorräumen von einem abstrakten Längenbegriff reden muss und nicht mehr von einer anschaulichen Länge). Wenn du doch jetzt einen Vektor durch seine Länge teilst, kürzt sich das doch einfach weg und du bekommst egal für welchen Wert immer 1...Macht Sinn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Di 25.01.2011 | | Autor: | Gerus |
Ok jetzt hab ich alles verstanden..
Vielen dank =)
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