Orthogonalität- Gerade u.Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Gerade g durch A (2/3/-1) ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung von g.
E: [mm] 5x_1 -x_2-3x_3=5 [/mm] |
Meine Lösung lautet g: [mm] \vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]+t [mm]\begin{pmatrix} 15 \\ -3 \\ -9\end{pmatrix}[/mm]
Eine Regel besagt ja dass eine Gerade g und eine Ebene E zueinander orthogonal sind, wenn Richtungsvektor und Normalenvektor Vielfache voneinander sind. Bin mir aber nicht sicher ob meine Lösung korrekt ist. Würde mich über eine Antwort von euch freuen
Gruß Daniel
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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So ganz stimmt das nicht.
Schau dir mal die Normalengleichung einer Ebene an:
[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec a)*\vec [/mm] n=0$
[mm] \vec{a} [/mm] ist der Aufpunktvektorm, und [mm] \vec{n} [/mm] ist der Normalenvektor. [mm] \vec{x} [/mm] ist einfach [mm] \vektor{x\\y\\z}
[/mm]
Wenn du das einsetzt und ausrechnest, erhälst du sowas:
[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec a)*\vec [/mm] n=0$
[mm] $\vec x*\vec [/mm] n - [mm] \vec a*\vec [/mm] n=0$
[mm] $xn_1+yn_2+zn_3-(a_1n_1+a_2n_2+a_3n_3)=0$
[/mm]
Vergleiche das Ding mal mit deiner Ebenengleichung! Die Koeffizienten von x,y,z ergeben direkt den Normalenvektor, also [mm] \vektor{5\\-1\\-3}
[/mm]
Also, eigentlich muß da nix gerechnet werden, die Lösung läßt sich sofort hinschreiben.
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Wie lautet dann die korrekte Lösung?
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Nun, der von mir angegebene Vektor ist einfach der Richtungsvektor der Grade. Dein Aufpunktvektor ist richtig, nur dein Richtungsvektor ist falsch. Nimm also meinen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Ihr,
natürlich ist Daniels Richtungsvektor auch ok!
Alternativ könnte ich auch noch [mm] $\vektor{-70\pi e^2\\14\pi e^2 \\42\pi e^2 }$ [/mm] anbieten 
Aber es ist freilich völlig unnötig, den Normalenvektor noch mit 3 (oder mit [mm] $-14\pi e^2$) [/mm] zu mulitplizieren, um einen geeigneten Richtungsvektor zu erhalten.
Schöne Grüße,
ardik
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