Orthogonales Komplement < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Seien
[mm] $M:=\{x=\left(x_n\right)_{n\in\IN}\in l^2\left(\IC\right)\mid x_{2j}=0\;\forall\,j\in\IN\}$
[/mm]
[mm] $l_{0}^{2}\left(\IC\right):=\{x=\left(x_n\right)_{n\in\IN}\in l^2\left(\IC\right)\mid \exists\,N\in\IN\;\forall\,n\geqslant{N}:\;x_n=0\}$
[/mm]
Bestimmen Sie
(i) : [mm] $M^{\bot}$
[/mm]
(ii): [mm] $l_{0}^{2}\left(\IC\right)^{\bot}$
[/mm]
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Hallo an alle Helfenden,
wäre nett wenn mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein könnte, denn ich weiß nicht, wie ich orthogonale Komplemente bestimme.
Zur Erinnerung:
[mm] $l^2\left(\IC\right)=\{x=\left(x_n\right)_{n\in\IN}\mid \sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|^2<\infty\}$
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] $M\subset l^2\left(\IC\right)$ [/mm] ein abgeschlossener Unterraum ist und dass [mm] $M\subset l_0^2\left(\IC\right)\subset M\subset l^2\left(\IC\right)$ [/mm] ein nicht abgeschlossener Untervektorraum ist.
Danke und Gruß Denny
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Welches Skalarprodukt liegt denn zugrunde? Ich vermute einmal, daß es für [mm]x = \left( x_n \right), \ y = \left( y_n \right)[/mm] durch
[mm]\left\langle x \, , \, y \right\rangle \ = \ \sum_n~x_n y_n [/mm]
definiert ist.
Im Fall des Unterraumes [mm]M[/mm] betrachte die spezielle Folge [mm]x \in M[/mm], deren Folgeglied bei einem bestimmten ungeraden Index gerade 1 und bei allen anderen Indizes 0 ist. Was folgt daraus für die Folge [mm]y[/mm], wenn [mm]\left\langle x \, , \, y \right\rangle \ = \ 0[/mm] ist?
Im Falle des zweiten Unterraumes betrachte die spezielle Folge [mm]x \in l_0^2(\mathbb{C})[/mm], die bei einem einzigen bestimmten Index 1 als Folgeglied und sonst nur Nullen hat. Was folgt jetzt aus [mm]\left\langle x \, , \, y \right\rangle \ = \ 0[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke für deine Antwort. Also ich habe mir mal Gedanken gemacht.
zu (i):
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Also wenn ich
[mm] $x=(1,0,0,\ldots)\in [/mm] M$
wähle, dann muss (wenn y orthogonal zu x ist, also $<x,y>=0$) gelten:
[mm] $=\sum_{n\in\IN}{x_ny_n}=y_1=0$
[/mm]
also muss [mm] $y_1=0$ [/mm] sein. Dies lässt sich fortsetzen, dann habe ich das folgende orthogonale Komplement:
[mm] $M^{\bot}=\{y=\left(y_n\right)_{n\in\IN}\in l^2\left(\IC\right)\mid =0\;\forall\,x\in M\}=\{y\mid y_{2j-1}=0\;\forall\,j\in\IN\}$
[/mm]
zu (ii):
--------
Hier bin ich analog vorgegangen, d.h. zuerst habe ich die Folge [mm] $x=\left(1,0,0,\ldots\right)\in l_0^2\left(\IC\right)$ [/mm] dann die Folge [mm] $x=\left(0,1,0,\ldots\right)\in l_0^2\left(\IC\right)$ [/mm] u.s.w. betrachtet.
Es folgt, dass
[mm] $y_n=0\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
Damit erhalten ich das orthogonale Komplement
[mm] $l_{0}^2\left(\IC\right)^{\bot}=\{\left(0,0,0,\ldots\right)\}$
[/mm]
also die menge mit der konstanten Nullfolge.
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Ist das alles soweit richtig???
Danke nochmals für die Mühen
Gruß Denny
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Das ist so richtig. Wenn man jedoch ganz pingelig ist, könnte man einwenden, daß du nur [mm]M^{\bot} \subseteq \left\{ y \, \left| \, y_n = 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \ \ \mbox{ungerade} \, \right\}[/mm] gezeigt hast. Die umgekehrte Inklusion ist allerdings eine Trivialität.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Ich danke dir von Herzen für die Hilfe.
Ciao Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Bestimme:
[mm] $\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}$ [/mm] |
Hallo nochmal an alle,
Ich habe kurz noch zwei Fragen:
Wieso ist [mm] $l_{0}^2\left(\IC\right)$ [/mm] nicht abgeschlossen?
und
Wie bestimme ich den obigen Abschluß [mm] $\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}$?
[/mm]
Wäre toll wenn mir nochmal jemand weiterhelfen könnte. Ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen muss.
Vielen Dank
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
kann mit tatsächlich niemand mehr bei der Aufgabe weiterhelfen?
Denny
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> Bestimme:
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> [mm]\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}[/mm]
> Hallo nochmal an alle,
> Ich habe kurz noch zwei Fragen:
>
> Wieso ist [mm]l_{0}^2\left(\IC\right)[/mm] nicht abgeschlossen?
>
> und
>
> Wie bestimme ich den obigen Abschluß
> [mm]\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}[/mm]?
>
der abschluss der menge schließt alle elemente aus [mm] $l^2$ [/mm] mit ein, die sich als grenzwert einer folge aus [mm] $l^2_0$ [/mm] darstellen lassen.
überleg mal: du hast ein beliebiges element x aus [mm] $l^2$ [/mm] und definierst nun eine folge [mm] $x_n$ [/mm] in [mm] $l^2_0$, [/mm] indem du x jeweils beim n-ten folgeglied abbrichst und 0 setzt. so erhälst du eine folge die gegen x konvergiert.(das musst du natürlich noch richtig zeigen!)
was ist also der abschluß der menge?
gruß
matthias
> Wäre toll wenn mir nochmal jemand weiterhelfen könnte. Ich
> habe keine Ahnung wie ich vorgehen muss.
>
> Vielen Dank
> Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 So 07.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke nochmals für die freundliche Unterstützung.
Ich denke, dass der Abschluß (auch aufgrund deiner Erklärung) [mm] $l^2$ [/mm] sein muss. Da ich mithilfe einer derartigen Konstruktion einer Folge jedes Element (also jede Folge) aus [mm] $l^2$ [/mm] approximieren kann, also
[mm] $\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}=l^2\left(\IC\right)$
[/mm]
Ist das richtig?
Danke und Gruß
Denny
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> Hallo,
>
> danke nochmals für die freundliche Unterstützung.
>
> Ich denke, dass der Abschluß (auch aufgrund deiner
> Erklärung) [mm]l^2[/mm] sein muss. Da ich mithilfe einer derartigen
> Konstruktion einer Folge jedes Element (also jede Folge)
> aus [mm]l^2[/mm] approximieren kann, also
>
> [mm]\overline{l_{0}^2\left(\IC\right)}=l^2\left(\IC\right)[/mm]
>
> Ist das richtig?
ja.
>
> Danke und Gruß
> Denny
gruß
matthias
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