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| Aufgabe | V endlich dimensionaler Innenproduktraum.
Zeigen Sie: [mm] E^{2} [/mm] = E und E = E* genau dann, wenn E ein orthogonale Projektion auf V ist. |
Hi!
Mit dem Spektralsatz ist die Rückrichtung ein Kinderspiel:
1) Es gelte [mm] E^{2} [/mm] = E, E = E*
[mm] \Rightarrow [/mm] E selbstadjungiert.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] orthogonale Projektionen [mm] E_{i} [/mm] mit:
E = [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}E_{i}, [/mm] für [mm] \lambda_{i} [/mm] k paarweise verschiedene Eigenwerte von E.
[mm] \Rightarrow [/mm] E = [mm] 1*E_{1} [/mm] + [mm] 0*E_{2} [/mm] = [mm] E_{1}, [/mm] da 1, 0 einzige Eigenwerte (folgt aus [mm] E^{2} [/mm] = E).
[mm] \Rightarrow [/mm] E orthogonale Projektion.
2) Sei E orthogonale Projektion, also [mm] E_{2} [/mm] = E und E [mm] \perp [/mm] Id - E
Zz: E selbstadjungiert also E = E* oder < E(v), w > = < v, E(w) > [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V
Ich habe dann munter angefangen indem ich v [mm] \in [/mm] V betrachte.
< E(v), v - E(v) > = 0, [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V (folgt aus E [mm] \perp [/mm] Id - E), gilt auch für v = 0, v = E(v), da der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal ist.
[mm] \gdw [/mm] < E(v), v > = < E(v), E(v) >. Das macht mich jetzt doch stutzig, da müsste ja V E-invariant sein!
< E(v), v > = < E(v), E(v) > ) = < v, E*(v) >, wo liegt mein Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 15.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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