Orthogonale Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Fr 16.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
| Aufgabe | | Berechne die orthogonale Projektion von [mm] [/mm] auf [mm] \vektor{0\\0\\0\\1}. [/mm] |
Hallo zusammen,
nachdem ich die QR-Zerlegung der Basisvektoren [mm] a_{1}..a_{3} [/mm] wie folgt aufgestellt habe:
Q.R=A
[mm] \pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{3}} & \bruch{-1}{\wurzel{42}} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{6}}{\wurzel{7}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{42}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{-1}{21}\wurzel{7}\wurzel{6}}\pmat{\wurzel{2} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & \wurzel{3} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{6}}}=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
Würde ich gerne an Hand der Matrix Q, welche meines Wissens eine Orthonormalbasis von A ist, die orthogonale Projektion auf [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] berechnen. Dies müsste relativ einfach laufen, aber ich komme gerade nicht drauf.
Danke+Gruß
Daniel
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechne die orthogonale Projektion von
> [mm][/mm]
> auf [mm]\vektor{0\\0\\0\\1}.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> nachdem ich die QR-Zerlegung der Basisvektoren [mm]a_{1}..a_{3}[/mm]
> wie folgt aufgestellt habe:
>
> Q.R=A
>
> [mm]\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{3}} & \bruch{-1}{\wurzel{42}} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{6}}{\wurzel{7}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{42}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{-1}{21}\wurzel{7}\wurzel{6}}\pmat{\wurzel{2} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & \wurzel{3} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{6}}}=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Würde ich gerne an Hand der Matrix Q, welche meines Wissens
> eine Orthonormalbasis von A ist, die orthogonale Projektion
> auf [mm]\vektor{0\\0\\0\\1}[/mm] berechnen. Dies müsste relativ
> einfach laufen, aber ich komme gerade nicht drauf.
Hallo,
Du scheinst das ganz anders machen zu wollen als ich es machen würde.
Eine QR-Zerlegung brauche ich nicht - zum Glück.
Es sind [mm] A:= [/mm] und [mm] U:= (e_4 [/mm] vierter Einheitsvektor )
Unterräume des [mm] \IR^4 [/mm] mit dem "normalen" Skalarprodukt.
Nun soll die Orthogonalprojektion auf U berechnet werden.
Sei [mm] a:=a^{(1)}a_1+a^{(2)}a_2+a^{(3)}a_3+a^{(4)}a_4 \in [/mm] A.
Die Projektion auf U ist
[mm] p(a)=p(a^{(1)}a_1+a^{(2)}a_2+a^{(3)}a_3)
[/mm]
[mm] =p(a^{(1)}a_1)+p(a^{(2)}a_2)+p(a^{(3)}a_3)) [/mm] Linearität
[mm] =a^{(1)}p(a_1)+a^{(2)}p(a_2)+a^{(3)}p(a_3))
[/mm]
[mm] =a^{(1)}(a_1*e_4)e_4+a^{(2)}(a_2*e_4)e_4+a^{(3)}(a_3*e_4)e_4
[/mm]
[mm] =a_2e_4
[/mm]
Also ist [mm] p(A)==U.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:05 Fr 16.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
Hallo,
vielen Dank für die rasche Antwort. Dennoch würde ich das ganze gerne mit Hilfe der QR-Zerlegung machen.
Dafür habe ich folgenden Ansatz, den ich aber im Moment nicht nachvollziehen bzw. anwenden kann:
[mm] min|A\vec{x}-\vec{b}|=min|\vec{y}-\vec{b}|=min|Q\vec{u}-\vec{b}|
[/mm]
mit [mm] \vec{y} \in [/mm] Bild A, Bild b
[mm] \Rightarrow \vec{u}=Q^{T}\vec{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Q\vec{u}=QQ^{T}\vec{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow QQ^{T} [/mm] ist die Projektion
Weiss jemand wie ich vorgehen muss?
Gruß
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Fr 16.02.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
Willst du wirklich die Projektion eines 3d- raums auf einen 1d raum irgendwie mit ner Matrix beschreiben?
verwechselst du das nicht mit den 1d Vektor in der 3d basis darzustellen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Sa 17.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
> hallo
> Willst du wirklich die Projektion eines 3d- raums auf
> einen 1d raum irgendwie mit ner Matrix beschreiben?
> verwechselst du das nicht mit den 1d Vektor in der 3d
> basis darzustellen?
> Gruss leduart
Hi,
laut Aufgabenstellung soll die Projektion von A auf den Vektor berechnet werden. Und zwar durch die QR Zerlegung und dann durch das lösen des oben genannten Minimierungsproblems.
Kannst Du mir da weiterhelfen?
Danke+Gruß
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 20.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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