Orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 05.10.2010 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe folgendes Problem: Angenommen P, Q seien Permutationsmatrizen und T eine orthogonale Matrix. Gibt es dann immer einer Permutationsmatrix R, so dass gilt PTQ = RT?
Kann mir jemand einen Tip geben, ob das geht und wenn ja was die entscheidene Idee?
Danke und beste Grüße
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:09 Mi 06.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe folgendes Problem: Angenommen P, Q seien
> Permutationsmatrizen und T eine orthogonale Matrix. Gibt es
> dann immer einer Permutationsmatrix R, so dass gilt PTQ =
> RT?
Nein.
Gegenbeispiel: $T = [mm] \tfrac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }$, [/mm] $P = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$, [/mm] $Q = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0}$.
[/mm]
Dann ist $P T Q = [mm] \tfrac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }$.
[/mm]
Weiterhin gibt es genau 2 Permutationsmatrizen der Groesse $2 [mm] \times [/mm] 2$, also muss $R [mm] \in \{ P, Q \}$ [/mm] sein. Jedoch ist $P T = [mm] \tfrac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \neq [/mm] P T Q$ und $Q T = [mm] \tfrac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } \neq [/mm] P T Q$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Do 07.10.2010 | | Autor: | BJJ |
Hi Felix,
vielen Dank!
Gruß
BJJ
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