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| Aufgabe | Zeigen Sie dass für eine Matrix A [mm] \in [/mm] R^(n×n) die folgenden Aussagen bzgl. Standardskalarprodukt
und euklidischer Norm äquivalent sind:
(a) A ist orthogonal.
(b) Die Spaltenvektoren von A bilden eine Orthonormalbasis.
(c) Die Zeilenvektoren von A bilden eine Orthonormalbasis. |
da ich mit dem Thema orthogonale Matrizen nicht sehr vertraut bin, wäre ich auch für Lösungsvorschläge bei dieser Aufgabe dankbar. Wie sähe denn von der geforderten Matrix das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm aus und wie zeige ich dann die geforderte Äquivalenz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 29.04.2008 | | Autor: | rainman_do |
Hallo, ich würde das nicht wirklich als Antwort bezeichnen, aber vielleicht regt es ja die Diskussion an. Also erstmal das Standardskalarprodukt ist das hier: [mm] =<\vektor{u_1 \\ \vdots \\ u_n}, \vektor{v_1 \\ \vdots \\ v_n}> [/mm] = [mm] u_1v_1+...+u_nv_n [/mm] und die euklidische Norm ist [mm] ||u||=||\vektor{u_1 \\ \vdots \\ u_n}||=\wurzel{u_{1}^2+...+u_{n}^2}.
[/mm]
Für orthogonale Matrizen gilt [mm] A*A^T=I_n [/mm] (wobei [mm] A^T [/mm] die Transponierte von A ist).
Zu deiner Aufgabe [a) [mm] \Rightarrow [/mm] b)] Wenn man sich die Eigenschaft [mm] A*A^T=I_n [/mm] mal hinschreibt, in der Form [mm] \pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}}*\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{nn}}=
[/mm]
[mm] \pmat{ a_{11}^2+...+a_{1n}^2 & \cdots & a_{11}a_{n1}+...+a_{1n}a_{nn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}a_{11}+...+a_{nn}a_{1n} & \cdots & a_{n1}^2+...+a_{nn}^2}= I_n, [/mm] sieht man, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen, die Quadrate, gleich 1 und die nicht-quadratischen Elemente gleich 0 sind (ist ja die Einheitsmatrix die da raus kommt).
Nimmt man sich nun zwei beliebige Spaltenvektoren der Matrix und packt sie ins Skalarprodukt, so erhält man [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \not= j \\ 1, & \mbox{für } i = j \end{cases}.
[/mm]
Jetzt noch 2 wichtige Eigenschaften des S-produkts:
<u,v>=0 heißt u ist orthogonal zu v und
[mm] ||u||=\wurzel{}
[/mm]
Es ist also so, dass zwei verschiedene Spalten von A im Skalarprodukt 0 ergeben (also zwei verschiedene Spalten sind orthogonal zueinander) und dass zwei gleiche Spalten 1 ergeben. Zusammengefasst heißt das, die Spaltenvektoren der Matrix sind
1) linear unabhängig, da A invertierbar ist [mm] \Rightarrow [/mm] Spaltenvektoren von A bilden Basis
2) Spaltenvektoren sind orthogonal [mm] \Rightarrow [/mm] Spaltenvektoren bilden Orthogonalbasis
3) Spaltenvektoren sind normiert [mm] \Rightarrow [/mm] Spaltenvektoren bilden ONB
Für die Richtung [mm] b)\Rightarrow [/mm] c) kannst du das analog machen, oder dir was einfallen lassen, woraus folgt dass c) eigentlich das gleiche aussagt wie b). Zur Richtung [mm] c)\Rightarrow [/mm] a) fällt mir spontan nichts ein.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Leprechaun |
Hi,
danke für die kompetente Hilfe, das hat so alles gestimmt und mich einen großen schritt weitergebracht!
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