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| Aufgabe | Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien” Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?
a)
[mm] A=\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22}}
[/mm]
b)
[mm] A=\pmat{ \bruch{1}{4} & \* \\ \* & \*} [/mm] |
Ich nehme an, dass dieses [mm] \* [/mm] die freien Koeffizienten darstellen soll. Ich verstehe nicht wieso die freien Koeffizienten bei den beiden Matrizen unterschiedlich dargestellt werden. Aber ist ja auch egal
a)
Bei orthogonalen Matrizen muss der Betrag der Spaltenvektoren geich 1 sein:
[mm] 1=\wurzel{a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{11}=\bruch{15}{16}
[/mm]
[mm] 1=\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+a_{22}^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{22}=\bruch{15}{16}
[/mm]
stimmt die Lösung? mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi!!
Es muss doch für eine orthogonale Matrix Q gelten: [mm] Q*Q^{T}=I [/mm] !!!
Überprüfe also dies und du erhältst die richtige Lösung!!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Sa 11.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien”
> Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt.
> Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?
>
> a)
>
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22}}[/mm]
>
> b)
>
> [mm]A=\pmat{ \bruch{1}{4} & \* \\ \* & \*}[/mm]
> Ich nehme an, dass
> dieses [mm]\*[/mm] die freien Koeffizienten darstellen soll. Ich
> verstehe nicht wieso die freien Koeffizienten bei den
> beiden Matrizen unterschiedlich dargestellt werden. Aber
> ist ja auch egal
>
> a)
>
> Bei orthogonalen Matrizen muss der Betrag der
> Spaltenvektoren geich 1 sein:
>
> [mm]1=\wurzel{a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{11}=\bruch{15}{16}[/mm]
>
> [mm]1=\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+a_{22}^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{22}=\bruch{15}{16}[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
Nein, rechne nochmal behutsam nach und beherzige
[mm] \wurzel {x^2}=|x|
[/mm]
fred
> mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?
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richtig wäre:
[mm] a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}}
[/mm]
[mm] a_{22}=\wurzel{\bruch{15}{16}}
[/mm]
Mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Stala |
Deine Lösung ist nicht richtig, mache doch einfach mal die Probe...
Schon an der Determinante scheitert es, die ist nämlich nicht 1 sondern [mm] \bruch{14}{16}
[/mm]
Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:
A * [mm] A^T [/mm] = [mm] I_2
[/mm]
dann erhältst du auch die richtigen Lösungen
VG
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>
> Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:
>
> A * [mm]A^T[/mm] = [mm]I_2[/mm]
>
> dann erhältst du auch die richtigen Lösungen
Es gilt dann:
[mm] \pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }*\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }
[/mm]
Daraus ergeben sich die Gleichungen:
[mm] a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1
[/mm]
[mm] a_{11}*\bruch{1}{4}+a_{22}*\bruch{1}{4}=0
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}}=\bruch{\wurzel{15}}{4}
[/mm]
[mm] a_{22}=-\wurzel{\bruch{15}{16}}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}
[/mm]
Mit diesen Lösungen ist auch der BETRAG der Determinante gleich 1. Also sollte die Lösung stimmen.
In der Aufgabe wird zusätzlich nach weiteren möglichkeiten gefragt
Eine weiter möglichkeit wäre doch:
[mm] a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}
[/mm]
[mm] a_{22}=\bruch{\wurzel{15}}{4}
[/mm]
Ich habe einfach die vorzeichen vertauscht.
mehr als diese Möglichkeiten gibt es nicht oder?
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> >
> > Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:
> >
> > A * [mm]A^T[/mm] = [mm]I_2[/mm]
> >
> > dann erhältst du auch die richtigen Lösungen
>
Moin,
> Es gilt dann:
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }*\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Daraus ergeben sich die Gleichungen:
>
> [mm]a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1[/mm]
>
> [mm]a_{11}*\bruch{1}{4}+a_{22}*\bruch{1}{4}=0[/mm]
Da fehlt doch noch eine!
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}}=\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
Nein.
Aus [mm] a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1 [/mm] folgt
[mm] a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=\red{-}\bruch{\wurzel{15}}{4},
[/mm]
die zweite Gleichung liefert Dir die zugehörigen [mm] a_2_2,
[/mm]
und dann ist die dritte Gleichung ja auch noch zu berücksichtigen.
Im Prinzip hast Du das ja auch schon herausgefunden.
Aber der Gedanke, den Du notiert hast, daß nämlich aus [mm] a_{11}^2=\bruch{15}{16} [/mm] folgt, daß [mm] a_1_1=\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm] ist falsch.
LG Angela
>
> [mm]a_{22}=-\wurzel{\bruch{15}{16}}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>
> Mit diesen Lösungen ist auch der BETRAG der Determinante
> gleich 1. Also sollte die Lösung stimmen.
>
> In der Aufgabe wird zusätzlich nach weiteren
> möglichkeiten gefragt
>
> Eine weiter möglichkeit wäre doch:
>
> [mm]a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>
> [mm]a_{22}=\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>
> Ich habe einfach die vorzeichen vertauscht.
>
> mehr als diese Möglichkeiten gibt es nicht oder?
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> Aus [mm]a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1[/mm] folgt
> [mm]a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4},[/mm]
du meinst bestimmt
[mm]a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
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Beitrag wird bearbeitet, bitte nicht antworten
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für aufgabe b) gilt:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }*\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Daraus ergeben sich die Gleichungen:
Gleichung 1: [mm] (\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1
[/mm]
Gleichung 2: [mm] \bruch{1}{4}*b_{21}+b_{12}*b_{22}=0
[/mm]
Gleichung 3: [mm] b_{21}^2+b_{22}^2=1
[/mm]
Aus Gleichung 1 folgt:
[mm] b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4}
[/mm]
Aus Gleichung 2 folgt dann:
[mm] \bruch{1}{4}*b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})*b_{22}=0
[/mm]
[mm] b_{21}+(\pm\wurzel{15})*b_{22}=0
[/mm]
[mm] b_{21}=-(\pm\wurzel{15})*b_{22}
[/mm]
Aus Gleichung 3 folgt dann:
[mm] (-(\pm\wurzel{15})*b_{22})^2+b_{22}^2=1
[/mm]
[mm] 15*b_{22}^2+b_{22}^2=1
[/mm]
[mm] b_{22}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Daraus folgt für die Lösungen:
[mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}
[/mm]
ODER
[mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}
[/mm]
stimmt die Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
Sieht gut aus fehlt aber noch was!
LG
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> für aufgabe b) gilt:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }*\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Daraus ergeben sich die Gleichungen:
>
> Gleichung 1: [mm](\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1[/mm]
>
> Gleichung 2: [mm]\bruch{1}{4}*b_{21}+b_{12}*b_{22}=0[/mm]
>
> Gleichung 3: [mm]b_{21}^2+b_{22}^2=1[/mm]
>
> Aus Gleichung 1 folgt:
>
> [mm]b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>
> Aus Gleichung 2 folgt dann:
>
> [mm]\bruch{1}{4}*b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})*b_{22}=0[/mm]
>
> [mm]b_{21}+(\pm\wurzel{15})*b_{22}=0[/mm]
>
> [mm]b_{21}=-(\pm\wurzel{15})*b_{22}[/mm]
>
> Aus Gleichung 3 folgt dann:
>
> [mm](-(\pm\wurzel{15})*b_{22})^2+b_{22}^2=1[/mm]
>
> [mm]15*b_{22}^2+b_{22}^2=1[/mm]
>
> [mm]b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]
Hallo,
Du machst wieder den gleichen Fehler wie schon einmal zuvor:
aus [mm] 16b_2_2^2=1 [/mm] folgt, daß [mm] b_2_2=\bruch{1}{4} [/mm] oder [mm] b_2_2=-\bruch{1}{4}.
[/mm]
LG Angela
>
> Daraus folgt für die Lösungen:
>
> [mm]b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> ODER
>
> [mm]b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Rebellismus |
Wie viele Möglichkeiten gibt es bei aufgabe b) ? Ich komme auf 4 Möglichkeiten.
Aufgabe a) hat 2 Möglichkeiten
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$ [mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Daraus ergeben sich die Gleichungen:
Gleichung 1: $ [mm] (\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1 [/mm] $
Gleichung 2: $ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}b_{21}+b_{12}\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $
Gleichung 3: $ [mm] b_{21}^2+b_{22}^2=1 [/mm] $
Aus Gleichung 1 folgt:
$ [mm] b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm] $
Aus Gleichung 2 folgt dann:
$ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $
$ [mm] b_{21}+(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $
$ [mm] b_{21}=-(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22} [/mm] $
Aus Gleichung 3 folgt dann:
$ [mm] (-(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22})^2+b_{22}^2=1 [/mm] $
$ [mm] 15\cdot{}b_{22}^2+b_{22}^2=1 [/mm] $
$ [mm] b_{22}=\pm\bruch{1}{4} [/mm] $
Da [mm] b_{22} [/mm] unabhängig vom Vorzeichen von [mm] b_{21} [/mm] ist, gibt es 4 Lösungsmöglichkeiten:
Lösung 1: [mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Lösung 2: [mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Lösung 3: [mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Lösung 4: [mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Ist die Lösung jetzt richtig?
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Hallo,
Deine Lösungen stimmen.
LG Angela
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