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| Aufgabe | Sei [mm] \IR^n, [/mm] der euklidische Raum mit der Metrik [mm] x*y=x_1y_1+...+x_ny_n, ||x||^2=x*x=x_1^2+....+x_n^2. [/mm] Sei [mm] O(n)={f:\IR^n \to \IR^n| f(x)*f(y)=x*y fuer alle x,y \in \IR^n} [/mm] die orthogonale Gruppe. Zeige
a) O(n) ist isomorph zu der Gruppe {A [mm] \in M(n,\IR)|AA^t=I \}
[/mm]
b) Für alle z [mm] \in \IR\{0} [/mm] wird die Spiegelung in z folgendermaßen definiert:
[mm] S_z(x)=x-2\frac{x*z}{z*z}*z [/mm] für alle x [mm] \in \IR^n
[/mm]
Zeige [mm] S_z \in [/mm] O(n), für alle z [mm] \in \IR^n [/mm] und [mm] S_z^2=I, detS_z=-1 [/mm] |
Hallo,
hat jemand einen Tipp zur Aufgabe a)? wie zeige ich genau die Isomorphie?
bei Aufgabe b) hab ich so gut wie alles gelöst nur meistens ist es doch Definitionssache das die Determinante der Spiegelungen -1 ist oder?
Ich könnte ausnutzen, dass ich weiß, dass [mm] S_z [/mm] ismorph ist zu O(n) damit weiß ich schon mal, dass die Determinante nur 1 oder -1 sein kann. Aber wie kann ich den FAll 1 ausschließen?
Liebe Grüße,
Herzblatt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 02.04.2017 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]\IR^n,[/mm] der euklidische Raum mit der Metrik
> [mm]x*y=x_1y_1+...+x_ny_n, ||x||^2=x*x=x_1^2+....+x_n^2.[/mm] Sei
> [mm]O(n)={f:\IR^n \to \IR^n| f(x)*f(y)=x*y fuer alle x,y \in \IR^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> die orthogonale Gruppe. Zeige
> a) O(n) ist isomorph zu der Gruppe {A [mm]\in M(n,\IR)|AA^t=I \}[/mm]
>
> b) Für alle z [mm]\in \IR\{0}[/mm] wird die Spiegelung in z
> folgendermaßen definiert:
> [mm]S_z(x)=x-2\frac{x*z}{z*z}*z[/mm] für alle x [mm]\in \IR^n[/mm]
> Zeige
> [mm]S_z \in[/mm] O(n), für alle z [mm]\in \IR^n[/mm] und [mm]S_z^2=I, detS_z=-1[/mm]
>
> Hallo,
>
> hat jemand einen Tipp zur Aufgabe a)? wie zeige ich genau
> die Isomorphie?
Stelle einen Zusammenhang zwischen einem [mm] $f\in [/mm] O(n)$ und einer Matrix her. Dann prüfe, ob die Matrix die richtige Eigenschaft hat. Dann rechne nach, dass durch diese Zuordnung ein Isomorphismus definiert ist.
> bei Aufgabe b) hab ich so gut wie alles gelöst nur
> meistens ist es doch Definitionssache das die Determinante
> der Spiegelungen -1 ist oder?
> Ich könnte ausnutzen, dass ich weiß, dass [mm]S_z[/mm] ismorph
> ist zu O(n) damit weiß ich schon mal, dass die
> Determinante nur 1 oder -1 sein kann. Aber wie kann ich den
> FAll 1 ausschließen?
Rechne einfach die Determinante aus.
>
> Liebe Grüße,
> Herzblatt
>
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> > Sei [mm]\IR^n,[/mm] der euklidische Raum mit der Metrik
> > [mm]x*y=x_1y_1+...+x_ny_n, ||x||^2=x*x=x_1^2+....+x_n^2.[/mm] Sei
> > [mm] O(n)=\{f:\IR^n \to \IR^n| f(x)*f(y)=x*y fuer alle x,y \in \IR^n\}[/mm]
>
>
> > die orthogonale Gruppe. Zeige
> > a) O(n) ist isomorph zu der Gruppe [mm] \{A \in M(n,\IR)|AA^t=I \}[/mm]
[/mm]
>
> >
> > b) Für alle z [mm]\in \IR\{0}[/mm] wird die Spiegelung in z
> > folgendermaßen definiert:
> > [mm]S_z(x)=x-2\frac{x*z}{z*z}*z[/mm] für alle x [mm]\in \IR^n[/mm]
> >
> Zeige
> > [mm]S_z \in[/mm] O(n), für alle z [mm]\in \IR^n[/mm] und [mm]S_z^2=I, detS_z=-1[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > hat jemand einen Tipp zur Aufgabe a)? wie zeige ich genau
> > die Isomorphie?
> Stelle einen Zusammenhang zwischen einem [mm]f\in O(n)[/mm] und
> einer Matrix her.
Wie stelle ich den Zusammenhang denn her?
Dann prüfe, ob die Matrix die richtige
> Eigenschaft hat.
ok, dazu muss ich ja zeigen, dass die Matrix orthogonal ist. Dann rechne nach, dass durch diese
> Zuordnung ein Isomorphismus definiert ist.
>
> > bei Aufgabe b) hab ich so gut wie alles gelöst nur
> > meistens ist es doch Definitionssache das die Determinante
> > der Spiegelungen -1 ist oder?
> > Ich könnte ausnutzen, dass ich weiß, dass [mm]S_z[/mm] ismorph
> > ist zu O(n) damit weiß ich schon mal, dass die
> > Determinante nur 1 oder -1 sein kann. Aber wie kann ich den
> > FAll 1 ausschließen?
> Rechne einfach die Determinante aus.
Was mich irritiert ist, dass ich das [mm] S_z [/mm] nicht als MAtrix gegeben habe, so dass ich nicht weiss, WIE ich die Determinante ausrechnen soll...
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> >
> > Liebe Grüße,
> > Herzblatt
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 So 02.04.2017 | | Autor: | hippias |
Meiner Meinung nach solltest Du die Themen lineare Abbildung, Matrix und Determinante in Deinem Skript oder einen Buch über lineare Algebra Deiner Wahl durchgehen. Da insbesondere in Deiner Aufgabe nach der Determinante einer Abbildung gefragt ist, die nicht als Matrix gegeben ist, hast Du sehr sicher in der Vorlesung gelernt, wie Du das anstellen sollst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 04.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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