Orthogonale Abbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:40 Mi 16.01.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt
[mm] <\vektor{x \\ y}>:≔x1y1+x2y2
[/mm]
und die Matrix-Abbildung
[mm] A:R^2 [/mm] → [mm] R^2
[/mm]
[mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] → A [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] mit A = [mm] \pmat{ a11 & a12 \\ a21 & a22 }
[/mm]
Sei
b = [mm] \vektor{-3 \\ 2}
[/mm]
Berechnen Sie die Koeffizienten a11,a12,a21,a22 [mm] \in \IR, [/mm] sodass
1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie b und
2. die Matrix-Abbildung A orthogonal ist. |
Hallo,
ich bin gerade dabei einige Aufgaben zu rechnen, aber bin schon wieder auf eine Aufgabe gestossen, bei der ich leider nicht weiterkomme...
Der Ansatz müsste ja irgendwas mit
[mm] \pmat{ cos phi & -sin phi \\ sin phi & cos phi }
[/mm]
zu tun haben oder? (Wie gibt man hier ein Phi ein?!)
Aber wie genau gehe ich dort vor?
Ich wäre über jegliche Tipps dankbar.
Danke vorab! :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 17.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Ich habe als Lösung jetzt folgendes raus. Ist das richtig?
Der Rechenweg ist mir irgendwie noch nicht so wirklich klar...
[mm] \pmat{ \bruch{-3}{\wurzel{13}} & \bruch{-2}{\wurzel{13}} \\ \bruch{2}{\wurzel{13}} & \bruch{-3}{\wurzel{13}} }
[/mm]
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe als Lösung jetzt folgendes raus.
Ja, die unten stehende Matrix ist korrekt.
> Ist das
> richtig?
> Der Rechenweg ist mir irgendwie noch nicht so wirklich
> klar...
Komisch, Du hast doch was gerechnet ? Was ist Dir an Deinen eigenen Rechnungen nicht klar ?
FRED
>
> [mm]\pmat{ \bruch{-3}{\wurzel{13}} & \bruch{-2}{\wurzel{13}} \\ \bruch{2}{\wurzel{13}} & \bruch{-3}{\wurzel{13}} }[/mm]
>
> Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen
> Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 17.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke für deine Rückmeldung.
Ich habe es mit einer Kommilitonin gemacht.
Die Idee stammte von ihr, warum das so ist konnte
siw mir aber nicht sagen.
Kann mir das hier vielleicht jemand erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ganz oben hattest Du doch schon den richtigenm Ansatz:
[mm] A=\pmat{ a & -b \\ b & a }
[/mm]
Wenn A orthogonal ist, muß [mm] a^2+b^2=1 [/mm] sein
Die erste Spalte , also [mm] \vektor{a \\ b}, [/mm] ergibt sich aus obiger Bedingung 1.
FRED
|
|
|
|
