Orthogonale Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IR [/mm] -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es seien U, W [mm] \subset [/mm] V endlichdimensionale Untervektorräume und Phi : V [mm] \to [/mm] V eine orthogonale Abbildung mit Phi(U) = W.
Beweisen Sie, dass Phi das orthogonale Komplement von U auf das orthogonale Komplement von W abbildet, d.h. Phi [mm] (U^{\perp}) [/mm] = [mm] (W)^{\perp}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie lautet der Ansatz der Aufgabe? Ich stehe auf dem Schlauch.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir bez. das Skalarprodukt auf V mit $<*,*>$ und , wenn Du gestattest schreibe ich f statt [mm] \phi.
[/mm]
f orthogonal bedeutet:
(*) <f(u),f(v)>=<u,v> für alle u, v [mm] \in [/mm] V.
Ich zeige Dir mal, wie man die Inklusion [mm] $f(U^{\perp}) \subseteq W^{\perp} [/mm] $ zeigt. (Du darfst dann die umgekehrte Inklusion beweisen)
Zu zeigen ist: <f(x),w>=0 für alle x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und alle w [mm] \in [/mm] W
Sei also x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und w [mm] \in [/mm] W =f(U). Es gibt also ein u [mm] \in [/mm] U mit f(u)=w.
Damit folgt ,mit (*):
<f(x),w>=<f(x),f(u)>=<x,u>.
Da x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und u [mm] \in [/mm] U , haben wir <x,u>=0, also wie gewünscht: <f(x),w>=0
FRED
|
|
|
|
