Orthogonalbasis bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 18.07.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Durch die Vektoren v1 = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
und v2 = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \in \IR³ [/mm] wird ein 2-dimensionaler Untervektorraum
U = { [mm] \lambda [/mm] * v1 + [mm] \mu [/mm] * v2| [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] } [mm] \subset \IR³ [/mm] aufgespannt. Bestimme eine Orthogonalbasis von U. |
Hallo an alle!
ich soll diese aufgabe morgen vorrechnen, aber ich verstehe immer noch nicht was eine orthogonale basis ist!
deswegen brauche ich erstmal eine erklärung, die ich verstehe, da ich keine finde:-( und wie ich hier anfangen könnte...
ich würde mich freuen, wenn ihr mir dabei hilft und mir tipps gibt!
lieben gruß
howtoadd
ich habe diese frage in keinem andren forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Fr 18.07.2008 | | Autor: | bjochen |
Also "was ist eine Orthogonalbasis?"
Der Name sagt eigentlich schon alles.
Also ich nehme an du weißt was eine Basis ist. Also in deinem Fall 2 Vektoren die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem deines Raumes ist.
Weißt du was das Skalarprodukt auf [mm] \IR^{3} [/mm] ist?
< [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] , [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3} [/mm] > = [mm] x_1 [/mm] * [mm] y_1 [/mm] + [mm] x_2 *y_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] * [mm] y_3
[/mm]
Damit kann man Orthogonalität definieren.
Undzwar sind 2 Vektoren genau dann orthogonal wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist.
Beispiel einer orthogonalen Basis ist zum Beispiel die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ein Verfahren zum finden einer Orthogonalbasis ist z.B. das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.
Die zusätzlichen Eigenschaften einer Orthogonalbasis ist also die Orthogonalität eines Basisvektors zu allen anderen Basisvektoren.
z.B. die Standardbasis:
< [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] > = 0
< [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] > = 0
< [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] > = 0
D.h. jeder Vektor der Orthogonalbasis ist orthogonal zu allen anderen Vektoren der Orthogonalbasis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 18.07.2008 | | Autor: | howtoadd |
danke für die ausführliche erklärung,
also ich habe mich jetzt an Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren versucht zu richten:
v1 = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
v2= [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 3}
[/mm]
v1= v2= [mm] \vektor{1\\ -1\\1}
[/mm]
dann nach dem ich skalarprodukt ausgerechnet habe, komme ich auf:
[mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] -2 * [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 1}
[/mm]
ich weiß jetzt absolut nicht ob das überhaupt die richtige rechnung war, und ich glaube ich hab da so einiges falsch gemacht :-S
danke für jeden hilfe!
lieben gruß
howtoadd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Fr 18.07.2008 | | Autor: | barb |
Hallo,
Ich weiß zwar im Moment nicht, wie das angesprochene Orthogonalisierungsverfahren funktioniert, aber ich würde die Aufgabe wie folgt lösen:
Gesucht ist irgendeine Orthogonalbasis von U, d.h. zwei lin. unabh. Vektoren a und b aus U, die aufeinander senkrecht stehen.
Als den einen Vektor wählt man [mm] a=\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}. [/mm] Der zweite Vektor muss auch in U liegen, also die Form
[mm] b=\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] haben.
Berechnet man nun das Skalarprodukt von a und b, so erhält man letztendlich die Gleichung 3 [mm] \lambda [/mm] +2 [mm] \mu [/mm] =0. Eine Variable frei wählen (aber nicht [mm] \mu=0, [/mm] da sonst nicht lin. unabh.), die zweite bestimmen und oben in b einsetzen, dann hat man einen zu a orthogonalen Vektor, der zusammen mit a eine Basis von U bildet.
Barb
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