Orthogonal. Ein Beweis. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Salve!
Die Aufgaben die ich nicht lösen kann gehen mir nicht aus.
Diese kann aber eigentlich nicht so schwer sein.
Aufgabe:
Es sei A [mm] \in \IR^{n} [/mm] ein Vektor, der auf jedem
Vektor X des [mm] \IR^{n} [/mm] orthogonal ist. Zeige, dass
dann A=0 gilt.
Mein Ansatz:
Zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal wenn
das Skalarpodukt <ax>=0 ist. Jetzt hab ich überlegt, wann
denn ein Skalarprodukt gleich Null ist.
[mm] =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=0 [/mm]
Wenn ich davon ausgehe dass A=0 gilt, kann ich doch folgendes
so machen? Mir passt das nicht wirklich. Das muss schöner gehen.
Da fehlt denk ich noch vieles zur mathematischen Korrektheit.
Es seien:
[mm] x_{1}=(1,0,...,0)
[/mm]
[mm] x_{2}=(0,1,0,...,0)
[/mm]
[mm] x_{3}=(0,0,1,0,...,0)
[/mm]
.
.
.
[mm] x_{n}=(0,0,0,...,1)
[/mm]
beliebige Vektoren des [mm] \IR^{n}, [/mm] und sei A Vektor [mm] \IR^{n}.
[/mm]
So! Wie kann ich jetzt schöner zeigen, dass
[mm] Ax_{1}=0 [/mm] -> [mm] a_{1}=0
[/mm]
[mm] Ax_{2}=0 [/mm] -> [mm] a_{2}=0
[/mm]
.
.
.
[mm] Ax_{n}=0 [/mm] -> [mm] a_{n}=0
[/mm]
Damit bin ich leider nicht zufrieden.
Grüße Kohei
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Aber genau so geht es! 
Es sei [mm] $a=(a_1,\ldots,a_n)^T \in \IR^n$ [/mm] mit
[mm] $\langle [/mm] a,x [mm] \rangle [/mm] =0$
für alle $x [mm] \in \IR^n$. [/mm] Dann gilt insbesondere für die Vektoren der Standardbasis
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \langle a,e_i \rangle [/mm] = 0 [mm] \qquad [/mm] (i [mm] \in \{1,2,\ldots,n\})$,
[/mm]
also: [mm] $a=(0,0,\ldots,0)^T$.
[/mm]
Was gefällt dir daran nicht?
Das ist einleuchtend, richtig und klar formuliert, oder nicht? Deine Lösung war es auch schon...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:25 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi Stefan!
Erst mal Danke!
So wie Du es aufgeschrieben hast, ist es wesentlich kompakter
und außerdem hat es noch mehr style. Meine Lösung ist eher
die kindliche Variante.
Liebe Grüße
Kohei
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