Orientierung Differentialform < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:56 Di 22.01.2013 | | Autor: | kullinarisch |
| Aufgabe | Zeige, dass folgende Untermannigfaltigkeiten orientierbar ist. Wähle eine Orientierung
(a) Bizylinderkurve C = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 | x^2 + y^2 = 1 , y^2 + z^2 = 2 \} [/mm] . |
Hallo! Ich habe mir zunächst folgende Abbildung definiert:
[mm] F:\IR^3 \to\IR^2
[/mm]
[mm] F(x,y,z)=(f_1(x,y,z), f_2(x,y,z))
[/mm]
mit [mm] f_1(x,y,z)= x^2 [/mm] + [mm] y^2-1 [/mm] und [mm] f_2(x,y,z)=y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] -2
Dann gilt: F^(-1)(0,0)=C und (0,0) ist regulärer Wert.
Sei im folgenden [mm] \omega_{\IR^3}=dx\wedge dy\wedge [/mm] dz die standart Orientierung im [mm] \IR^3. [/mm] Also für [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] aus [mm] \IR^3 [/mm] gilt [mm] \omega_{\IR^3}(v_1,v_2v_3)=det(v_1|v_2|v_3)
[/mm]
Nach den oben gegebenen Voraussetzungen ist dann nach einem Satz aus unserer Vorlesung folgende 1- Form eine Orientierung auf C:
[mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg\omega_{\IR^3} [/mm] mit [mm] \neg [/mm] soll das innere Produkt gemeint sein http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform#Inneres_Produkt
Jetzt habe ich allerdings Probleme [mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg\omega_{\IR^3} [/mm] konkret anzugeben. Ich weiß nur wie man allgemein das innere Produkt von nur EINEM Vektor mit einer n-Form angibt, nämlich:
für [mm] v=(v_1,...,v_n)^T [/mm] und [mm] \omega_{\IR^n} [/mm] Standartorientierung
[mm] v\neg\omega_{\IR^n}=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}v_idx_1\wedge ..\wedge \hat dx_i \wedge..\wedge dx_n [/mm] wobei [mm] \hat dx_i [/mm] bedeutet, dass [mm] dx_i [/mm] weggelassen wird. Wenn man dort n-1 Vektoren einsetzt, entspricht das der Determinante nach Entwicklung der ersten Spalte, welche die Einträge von v sind.
Ich schreibe mal meine kleine Rechnung auf:
mit
[mm] grad(f_1)=(2x, [/mm] 2y, [mm] 0)^T [/mm] und [mm] grad(f_2)=(0, [/mm] 2y, [mm] 2z)^T [/mm] folgt:
[mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg\omega_{\IR^3}=
[/mm]
[mm] grad(f_2)\neg(2xdy\wedge dz-2ydx\wedge [/mm] dz)= ???
[mm] grad(f_2)\neg 2xdy\wedge [/mm] dz - [mm] grad(f_2)\neg 2ydx\wedge [/mm] dz= ???
[mm] -2y2xdz+2z2xdy-(-2y2ydx\wedge [/mm] dz+2z2ydx)
Mit den Fragezeichen "???" will ich andeuten, dass ich nicht weiß ob das so gilt. Wegen -2y2ydx [mm] \wedge [/mm] dz wäre das nämlich keine 1-Form. Ob die letzten beiden Zeilen richtig sind bezweifle ich daher. Vielleicht kann mir jmd auf die Sprünge helfen?
Grüße, kulli
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Ok, die Frage hat sich nun erledigt. Das Ergebnis kann man quasi ablesen, wenn man einfach einen Vektor v aus [mm] \IR^3 [/mm] einsetzt. Wen es interessiert:
[mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg\omega_{\IR^3}(v)=
[/mm]
[mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg dx_1\wedge dx_2 \wedge dx_3 [/mm] (v)=
[mm] det\pmat{ 2x & 2y & 0 \\ 0 & 2y & 2z \\ v_1 & v_2 & v_3 }
[/mm]
[mm] =4xyv_3-4xzv_2+4yzv_1 [/mm]
und daraus folgt dann
[mm] grad(f_1)\neg grad(f_2)\neg\omega_{\IR^3}= 4xydx_3-4xzdx_2+4xydx_1
[/mm]
Mfg, kulli
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