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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Fr 24.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei M eine totalgeordnete Menge bezüglich [mm] \le. [/mm] M heißt ordnungsvollständig wenn für zwei nichtleere Mengen A,B [mm] \subseteq [/mm] M, A [mm] \not= \emptyset, [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] mit [mm] a\le [/mm] b [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A und [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B es ein Element m [mm] \in [/mm] M mit a [mm] \le [/mm] m [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B gibt.
Die Aussag ist äquivalent mit:
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] M besitzt ein Supremum sup A [mm] \in [/mm] M. |
Hallo zusammen.
Ich verstehe einen Punkt bei der Richtung => nicht.
Ang M ist ordnungsvollständig. Sei A [mm] \not= \emptyset, [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] M und A nach oben beschränkt.
Sei [mm] B=\{b \in M: b\ge a, \forall a \in A\} [/mm] die Menge der oberen Schranken von A.
Wegen der Ordnungsvollständigkeit [mm] \exists [/mm] m sodass [mm] a\le [/mm] m [mm] \le [/mm] b [mm] \forall a\in [/mm] A, [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B. Wähle m= sup A.
Mir ist klar, dass m eine obere Schranke von A ist, denn a [mm] \le [/mm] m gilt für alle a [mm] \in [/mm] A.
Aber warum ist m die kleinste obere Schranke. Nehme ich ein t<m , warum sollte dann dieses t kein Element von B sein?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Sa 25.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Sei M eine totalgeordnete Menge bezüglich [mm]\le.[/mm] M heißt
> ordnungsvollständig wenn für zwei nichtleere Mengen A,B
> [mm]\subseteq[/mm] M, A [mm]\not= \emptyset,[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm] mit [mm]a\le[/mm]
> b [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A und [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B es ein Element m [mm]\in[/mm]
> M mit a [mm]\le[/mm] m [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B gibt.
>
> Die Aussag ist äquivalent mit:
> Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge A
> [mm]\subseteq[/mm] M besitzt ein Supremum sup A [mm]\in[/mm] M.
> Ang M ist ordnungsvollständig. Sei A [mm]\not= \emptyset,[/mm] A
> [mm]\subseteq[/mm] M und A nach oben beschränkt.
> Sei [mm]B=\{b \in M: b\ge a, \forall a \in A\}[/mm] die Menge der
> oberen Schranken von A.
(Da $A$ nach oben beschränkt ist, gilt [mm] $B\not=\emptyset$.)
[/mm]
> Wegen der Ordnungsvollständigkeit [mm]\exists[/mm] m sodass [mm]a\le[/mm] m [mm]\le[/mm] b [mm]\forall a\in[/mm] A, [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B. Wähle m= sup A.
> Mir ist klar, dass m eine obere Schranke von A ist, denn a
> [mm]\le[/mm] m gilt für alle a [mm]\in[/mm] A.
> Aber warum ist m die kleinste obere Schranke. Nehme ich
> ein t<m , warum sollte dann dieses t kein Element von B
> sein?
Weil [mm] $m\le [/mm] b$ für alle [mm] $b\in [/mm] B$ gilt:
Wäre [mm] $t\in [/mm] B$, so wäre also [mm] $m\le [/mm] t$.
Das kann für $t<m$ nicht sein.
Viele Grüße
Tobias
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