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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Do 21.11.2013 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | Für jede Menge X ist die Relation [mm] $\subseteq$ [/mm] eine Ordnung in der Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(X)$. [/mm]
Zu zeigen: Diese Relation ist eine Totalordnung genau dann, wenn X leer ist oder aus nur einem Element besteht. |
Hey Leute.
Den ersten Satz habe ich bereits gezeigt, also dass [mm] $\subseteq$ [/mm] eine Ordnung in der Potenzmenge ist. Jetzt will ich noch die Äquivalenz des zweiten Satzes zeigen. Die Rückrichtung müsste ich haben, doch die Hinrichtung will mir nicht gelingen.
zu zeigen: [mm] $\subseteq$ [/mm] Totalordnung [mm] $\Leftrightarrow [/mm] X= [mm] \emptyset$ [/mm] v [mm] $X=\left\{a\right\}$
[/mm]
(wobei Totaliät definiert ist als: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in P\left( X\right) [/mm] : x [mm] \subseteq [/mm] y$ v $ y [mm] \subseteq [/mm] x$)
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
1.Fall [mm] $X=\emptyset [/mm] : [mm] P(\emptyset)=\left\{\emptyset \right\}$
[/mm]
Bei nur einem Element in der Potenzmenge folgt die Totalität aus der Reflexivität.
2.Fall [mm] $X=\left\{a\right\}$ [/mm] : [mm] P(\left\{a\right\})=\left\{\emptyset,\left\{a\right\} \right\}$
[/mm]
Auch klar, da [mm] $\emptyset \subseteq \left\{a\right\}$ [/mm] und somit Totalität vorhanden ist, d.h. alle Elemente sind vergleichbar.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Hmm ja, nun die Hinrichtung, bei der ich nicht wirklich weiterkomme.
Also ich weiß jetzt, dass [mm] $\subseteq$ [/mm] eine Totalordnung ist, also dass folgendes gilt:
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in P\left( X\right) [/mm] : x [mm] \subseteq [/mm] y$ v $ y [mm] \subseteq [/mm] x$
Jetzt will ich zeigen, dass nun X nur die leere Menge sein kann oder ein Element enthält.
Über einen Tipp/Ansatz wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank,
Mit freundlichen Grüßen,
Vidane
EDIT: Mir ist klar, dass Totalität im Allgemeinen nicht gilt. So sind für [mm] $X=\mathbb{Z}$ [/mm] beispieltweise [mm] \left\{3\right\} [/mm] und [mm] \left\{4\right\} [/mm] nicht vergleichbar und somit wäre die Relation nicht total.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Hmm ja, nun die Hinrichtung, bei der ich nicht wirklich
> weiterkomme.
> Also ich weiß jetzt, dass [mm]\subseteq[/mm] eine Totalordnung
> ist, also dass folgendes gilt:
> [mm]\forall x,y \in P\left( X\right) : x \subseteq y[/mm] v [mm]y \subseteq x[/mm]
>
> Jetzt will ich zeigen, dass nun X nur die leere Menge sein
> kann oder ein Element enthält.
Hi,
ein Beweis per Widerspruch sollte zum Ziel führen.
Angenommen X hat mindestens 2 Elemente. ...
Führe das zum Widerspruch, dass [mm] \subseteq [/mm] eine Totalordnung auf [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] ist.
Gruß
Ebri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 21.11.2013 | | Autor: | Vidane |
Ahhh Perfekt danke, daran habe ich überhaupt nicht gedacht.
Habs geschafft denk ich.
Angenommen, X hat mind. zwei Elemente, d.h. [mm] $X=\left\{x,y,..\right\}$.
[/mm]
Dann ist mindenstens [mm] $P(X)=\left\{\emptyset , \left\{x\right\}, \left\{y\right\},\left\{x,y\right\}, ... \right\}$.
[/mm]
Hier gilt natürlich weder [mm] $\left\{x\right\} \subseteq \left\{y\right\} [/mm] $
noch [mm] $\left\{y\right\} \subseteq \left\{x\right\} [/mm] $ .
Das heißt mit 2 Elementen oder mehr ist [mm] (X,$\subseteq$) [/mm] keine geordnete Menge.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] X hat [mm] $\leq [/mm] 1$ Elemente.
Dankeschön
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Ahhh Perfekt danke, daran habe ich überhaupt nicht
> gedacht.
> Habs geschafft denk ich.
>
> Angenommen, X hat mind. zwei Elemente, d.h.
> [mm]X=\left\{x,y,..\right\}[/mm].
> Dann ist mindenstens [mm]P(X)=\left\{\emptyset , \left\{x\right\}, \left\{y\right\},\left\{x,y\right\}, ... \right\}[/mm].
>
> Hier gilt natürlich weder [mm]\left\{x\right\} \subseteq \left\{y\right\}[/mm]
> noch [mm]\left\{y\right\} \subseteq \left\{x\right\}[/mm] .
>
> Das heißt mit 2 Elementen oder mehr ist (X,[mm]\subseteq[/mm])
> keine geordnete Menge.
> [mm]\Rightarrow[/mm] X hat [mm]\leq 1[/mm] Elemente.
>
> Dankeschön
Ja genau. Ein kleiner Formfehler ist noch drin. [mm] (X,\subseteq) [/mm] müsste [mm] (\mathcal{P}(X),\subseteq) [/mm] sein.
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