Ordnung von Differentialoperat < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 13.05.2007 | | Autor: | Itsme |
| Aufgabe | | Hat L1 die Ordnung k und L2 die Ordnung l, so ist [L1, L2] ein Differentialoperator der Ordnung [mm] \le [/mm] k+l-1 |
Hi Leute, mir ist nich ganz klar wieso der Kommutator die Ordnung kleiner gleich k+l-1 haben soll,
was ich mir gedacht habe, ist ja das die 0. Ableitung verschwindet, der Kommutator ist ja L1 [mm] \circ [/mm] L2 - L2 [mm] \circ [/mm] L1.
Also sowas wie [mm]\summe_{p=0}^{k} ap D^{p} \summe_{q=0}^{l} bq D^{q} - \summe_{q=0}^{l} bq D^{q} \summe_{p=0}^{k} ap D^{p}[/mm]
Nun gilt ja das [mm] D^{0} [/mm] die Funktion nicht verändert, man also als einen Summanden haben sollte: [mm] a0b0 - b0a0[/mm], was ja verschwindet. Aber die höchste Ableitung bleibt ja k+l, und ich dachte die Ordnung ist die Zahl der höchsten Ableitung, demnach müsste der Kommutator doch die Ordnung k+l weiter behalten oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte helft mir 
mfg, itsme
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Hallo itsme,
> Hat L1 die Ordnung k und L2 die Ordnung l, so ist [L1, L2]
> ein Differentialoperator der Ordnung [mm]\le[/mm] k+l-1
> Hi Leute, mir ist nich ganz klar wieso der Kommutator die
> Ordnung kleiner gleich k+l-1 haben soll,
>
> was ich mir gedacht habe, ist ja das die 0. Ableitung
> verschwindet, der Kommutator ist ja L1 [mm]\circ[/mm] L2 - L2 [mm]\circ[/mm]
> L1.
> Also sowas wie [mm]\summe_{p=0}^{k} ap D^{p} \summe_{q=0}^{l} bq D^{q} - \summe_{q=0}^{l} bq D^{q} \summe_{p=0}^{k} ap D^{p}[/mm]
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> Nun gilt ja das [mm]D^{0}[/mm] die Funktion nicht verändert, man
> also als einen Summanden haben sollte: [mm]a0b0 - b0a0[/mm], was ja
> verschwindet. Aber die höchste Ableitung bleibt ja k+l, und
> ich dachte die Ordnung ist die Zahl der höchsten Ableitung,
> demnach müsste der Kommutator doch die Ordnung k+l weiter
> behalten oder?
es ist eher so: die terme hoechster ordnung heben sich sicherlich auf, da diese nur durch verknuepfung von termen hoechster ordnung entstehen koennen und partielle ableitungen ja bekanntlich kommutieren (also [mm] $d^2/(dxdy)= d^2/(dydx)$ [/mm] usw.). Hoert sich kompliziert an, ist es aber eigentlich nicht... schreibe dir mal ein beispiel mit zwei konkreten 1-dim. operatoren 2.ordnung hin, dann solltest du es sehen.
VG
Matthias
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Bitte helft mir
>
> mfg, itsme
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Itsme |
Also das die reinen Terme höchster Ordnung verschwinden sehe ich sofort ein, aber die Mischterme verschwinden meiner Meinung nach nicht da die Ableitung i.A. nicht kommutieren, denn wäre das der Fall, dann wäre der Kommutator [L1, L2] immer identisch 0 für beliebige Funktionen.
Meiner Meinung nach muss die Funktion stetig sein damit die Ableitungen $ [mm] d^2/(dxdy)= d^2/(dydx) [/mm] $ kommutieren, dies ist dabei nicht als Vorraussetzung gegeben.
Und wenn die Funktion k+l mal stetig bzw. k+l-1 mal stetig diff'bar dann verschwindet der Kommutator doch komplett oder seh ich das irgendwie falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 14.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Also das die reinen Terme höchster Ordnung verschwinden
> sehe ich sofort ein,
Auch nachgerechnet?
> aber die Mischterme verschwinden
> meiner Meinung nach nicht da die Ableitung i.A. nicht
> kommutieren,
naja, die Ableitungen als soclhe schon, dh die Differentialoperatoren, aber du hast hier ja "Funktion mal Operator", und das kommutiert wiederum nicht notwenigerweise.
> denn wäre das der Fall, dann wäre der
> Kommutator [L1, L2] immer identisch 0 für beliebige
> Funktionen.
Das ist er nicht.
> Meiner Meinung nach muss die Funktion stetig sein damit die
> Ableitungen [mm]d^2/(dxdy)= d^2/(dydx)[/mm] kommutieren, dies ist
> dabei nicht als Vorraussetzung gegeben.
Naaajaaaa. Diese Diff.operatoren müssen auf irgendeinem Raum leben, du kannst davon ausgehen das dort die funktionen unendlich oft diffbar sind, denn sonst sind höhere partielle Ableitungen auch nicht immer gegeben (ja, es gibt pathologische Gegenbsp.)
> Und wenn die Funktion k+l mal stetig bzw. k+l-1 mal stetig
> diff'bar dann verschwindet der Kommutator doch komplett
> oder seh ich das irgendwie falsch?
Hm, welche Funktion jetzt? Worauf du den Diff.operator anwendest? Oder die, die schon in diesen drin stehen?
SEcki
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