Ordnung in R*(p) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ p $ eine Primzahl und sei [mm] $a\in\IZ$. [/mm] Beweise:
i) Ist $ a $ von Ordnung 3 in R*(p), dann ist $ a+1 $ von Ordnung 6 in R*(p).
ii) Ist $ a $ von Ordnung $ k $ in R* [mm] (p^2), [/mm] dann ist $ a $ entweder von Ordnung $ k $ oder von Ordnung $ k*p $ in R* [mm] (p^2). [/mm] |
Hallo!
Komme nicht so recht voran mit dieser Aufgabe.
Wir haben die Ordnung als kleinsten Exponenten definiert, so das $ [mm] a^r\equiv1(mod [/mm] p) $ gilt. R*(p) Ist die Menge der Invertierbaren mod - Klassen.
Für die erste Aufgabe habe ich noch den Hinweis, dass ich zeigen soll, dass $ [mm] (a+1)^2\equiv [/mm] a(modp) $ ist. Dann habe ich ja auch sofort die Aussage:
$ [mm] (a+1)^6\equiv ((a+1)^2)^3\equiv a^3 \equiv [/mm] 1 (modp) $.
Aber ich komme zu keinem Ergbenis, drehe mich nur im Kreis.
Und für die zweite weiß ich nicht, wie ich von $ p $ zu [mm] p^2 [/mm] komme.
Ich bin dankbar für jede Hilfe.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 08.01.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei [mm]p[/mm] eine Primzahl und sei [mm]a\in\IZ[/mm]. Beweise:
>
> i) Ist [mm]a[/mm] von Ordnung 3 in R*(p), dann ist [mm]a+1[/mm] von Ordnung 6
> in R*(p).
>
> ii) Ist [mm]a[/mm] von Ordnung [mm]k[/mm] in R* [mm](p^2),[/mm] dann ist [mm]a[/mm] entweder
> von Ordnung [mm]k[/mm] oder von Ordnung [mm]k*p[/mm] in R* [mm](p^2).[/mm]
> Komme nicht so recht voran mit dieser Aufgabe.
> Wir haben die Ordnung als kleinsten Exponenten definiert,
> so das [mm]a^r\equiv1(mod p)[/mm] gilt. R*(p) Ist die Menge der
> Invertierbaren mod - Klassen.
>
> Für die erste Aufgabe habe ich noch den Hinweis, dass ich
> zeigen soll, dass [mm](a+1)^2\equiv a(modp)[/mm] ist. Dann habe ich
> ja auch sofort die Aussage:
> [mm](a+1)^6\equiv ((a+1)^2)^3\equiv a^3 \equiv 1 (modp) [/mm].
a ist jedenfalls nicht kongruent 1 mod p, da die Ordnung ja 3 sein soll. Aber nach Binomi ist [mm] (a+1)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a + 1 + a, und das wiederum ist nach der Summenformel für geom. Reihen gleich [mm] \bruch{a^3 - 1}{a - 1} [/mm] + a. Nun ist aber nach Voraussetzung der Zähler = 0, also fertig.
> Aber ich komme zu keinem Ergbenis, drehe mich nur im
> Kreis.
>
> Und für die zweite weiß ich nicht, wie ich von [mm]p[/mm] zu [mm]p^2[/mm]
> komme.
Da scheint ein Eingabefehler vorzuliegen, vielleicht so:
ii) Ist [mm]a[/mm] von Ordnung [mm]k[/mm] in R* [mm](p),[/mm] dann ist [mm]a[/mm] entweder von Ordnung [mm]k[/mm] oder von Ordnung [mm]k*p[/mm] in R* [mm](p^2).[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Sei [mm]p[/mm] eine Primzahl und sei [mm]a\in\IZ[/mm]. Beweise:
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> i) Ist [mm]a[/mm] von Ordnung 3 in R*(p), dann ist [mm]a+1[/mm] von Ordnung 6
> in R*(p).
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> ii) Ist [mm]a[/mm] von Ordnung [mm]k[/mm] in R* [mm](p^2),[/mm] dann ist [mm]a[/mm] entweder
> von Ordnung [mm]k[/mm] oder von Ordnung [mm]k*p[/mm] in R* [mm](p^2).[/mm]
> Hallo!
>
> Komme nicht so recht voran mit dieser Aufgabe.
> Wir haben die Ordnung als kleinsten Exponenten definiert,
> so das [mm]a^r\equiv1(mod p)[/mm] gilt. R*(p) Ist die Menge der
> Invertierbaren mod - Klassen.
>
> Für die erste Aufgabe habe ich noch den Hinweis, dass ich
> zeigen soll, dass [mm](a+1)^2\equiv a\ (mod\ p)[/mm] ist. Dann habe ich
> ja auch sofort die Aussage:
> [mm](a+1)^6\equiv ((a+1)^2)^3\equiv a^3 \equiv 1\ (mod\ p) [/mm].
>
> Aber ich komme zu keinem Ergbenis, drehe mich nur im
> Kreis.
>
> Und für die zweite weiß ich nicht, wie ich von [mm]p[/mm] zu [mm]p^2[/mm]
> komme.
Hallo Vic,
bei der Beantwortung von (i) ist mir statler um ein paar
Minuten zuvorgekommen.
Allerdings hat man, wenn $\ [mm] (a+1)^6\equiv 1\quad [/mm] (modulo\ p)$ gezeigt ist,
noch nicht bewiesen, dass dann die Ordnung von (a+1) gleich
6 sein muss. Sie könnte ja allenfalls noch ein echter Teiler
von 6 sein. Diese Fälle müssten noch ausgeschlossen werden.
LG Al-Chw.
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Hallo!
Vielen Dank fuer die Hilfe.
Jetzt muesste ich also fuer die i) nur noch zeigen, dass [mm] (a+1)^3 [/mm] nicht-kongruent 1(modp) ist:
[mm] (a+1)^2\equiv [/mm] a (modp) [mm] \gdw (a+1)^3 \equiv a^2 [/mm] + a (modp)
reicht das schon? Man kann ja nicht [mm] a^2+a [/mm] auf 1 umformen.
zur ii) Das stimmt, da habe ich mich vertippt. Es heisst zuerst R*(p) und dann R* [mm] (p^2).
[/mm]
zu zeigen ist ja, dass, wenn [mm] a^k\equiv1(modp), [/mm] dann entweder [mm] a^k\equiv1(modp), [/mm] oder [mm] a^{k*p}\equiv1(modp), [/mm] aber nicht fuer andere Teiler von k.
Dabei weiss ich nicht, wie ich Potenzen im mod handhaben muss.
Gruss Vic
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 10.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > Als echter Teiler von 6 käme natürlich ausser 3 auch
> > 2 (oder sogar 1) in Frage ...
> > LG Al-Chw.
> Hallo nochmal!
>
> Die Fälle 2 und 1 habe ich nicht mehr betrachtet, da ja
> [mm](a+1)^2\equiv a(modp)[/mm] und [mm](a+1)\equiv(a+1)(modp),[/mm] also
> beide sicherlich nicht [mm]\equiv a^{3}\equiv1(modp).[/mm] Ist das
> ok so?
> Wahrscheinlich hätte ich das noch sagen sollen.
>
> LG Vic
Hallo Vic,
ich hab mir's auch nochmal zurecht gelegt, bei solchen
Überlegungen muss ich mich selber etwas zur Pingelig-
keit zwingen, um mich in der etwas ungewohnten
Modulo-Logik nicht zu verheddern:
1.) Hätte (a+1) die Ordnung 1 (mod p), wäre [mm] a+1\equiv1, [/mm]
also [mm] a\equiv0 [/mm] (mod p), d.h. a wäre durch p teilbar,
und damit würde a gar nicht R*(p) angehören -
dieser Fall scheidet also aus.
2.) Hätte (a+1) die Ordnung 2 (mod p), wäre [mm] (a+1)^2\equiv1 [/mm] ,
also
$\ [mm] (a+1)^2=a^2+2\,a+1=(a^2+a+1)+a=\frac{a^3-1}{a-1}+a \equiv\ [/mm] 1$
nach der Voraussetzung, dass a Ordnung 3 haben
soll und somit [mm] a^3-1\equiv0 [/mm] :
$\ [mm] (a+1)^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{a^3-1}{a-1}+a\ \equiv\ \underbrace{\frac{0}{a-1}}_{0}+a\ \equiv\ [/mm] a\ [mm] \equiv\ [/mm] 1$
Letztere Äquivalenz $a\ [mm] \equiv\ [/mm] 1$ ist natürlich unver-
einbar damit, dass a Ordnung 3 haben soll, also
scheidet auch diese Möglichkeit, dass (a+1) die
Ordnung 2 modulo p hat, aus.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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