Ordnung endliche Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei G eine endliche Gruppe, $g,h [mm] \in [/mm] G, m=ord(g), n=ord(h)$. Zeigen Sie: Wenn $gh=hg$ und $ggT(m,n)=1$ ist, dann ist $ord(gh)=mn$. |
Hallo Zusammen,
mich verwirren die Voraussetzungen ein wenig. Also ich habe angefangen mit:
Es gilt [mm] $(gh)^{mn}=g^{mn}h^{mn}=(g^m)^n(h^n)^m=e^ne^m=e$.
[/mm]
Um zu zeigen, dass dann $mn$ die Ordnung von $(gh)$ ist fehlt noch, dass es keine kleinere Zahl [mm] $x\in \IN$ [/mm] gibt mit $x<mn$ und [mm] (gh)^x=e.
[/mm]
Angenommen es gibt eine solche Zahl, dann gilt
[mm] $e=(gh)^x=g^xh^x$ [/mm] was auf 2 Fälle führt:
1. Fall [mm] ($g^x=h^x=e$): [/mm] Hier hab ein Problem, das zu zeigen...vielleicht braucht man ja dafür die Voraussetzungen? ich weiß bloß nicht wie ich das einsetzen soll...
2. Fall [mm] ($h^x$ [/mm] ist das inverse von [mm] $g^x$): [/mm] Dann ist also [mm] $h^x=g^y$ [/mm] mit [mm] $g^xg^y=g^m=e$, [/mm] also $xy=m$, dann wäre aber $x<m$ was ein Widerspruch zur Minimalität von $m$ ist.
Ist der zweite Fall ok? Kann mir vielleicht jemand beim ersten Fall helfen? Muss man das überhaupt so machen oder gehts vielleicht einfacher?
Viele Dank schon mal im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 18.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei G eine endliche Gruppe, [mm]g,h \in G, m=ord(g), n=ord(h)[/mm].
> Zeigen Sie: Wenn [mm]gh=hg[/mm] und [mm]ggT(m,n)=1[/mm] ist, dann ist
> [mm]ord(gh)=mn[/mm].
>
> Hallo Zusammen,
>
> mich verwirren die Voraussetzungen ein wenig. Also ich habe
> angefangen mit:
>
> Es gilt [mm](gh)^{mn}=g^{mn}h^{mn}=(g^m)^n(h^n)^m=e^ne^m=e[/mm].
> Um zu zeigen, dass dann [mm]mn[/mm] die Ordnung von [mm](gh)[/mm] ist fehlt
> noch, dass es keine kleinere Zahl [mm]x\in \IN[/mm] gibt mit [mm]x
> und [mm](gh)^x=e.[/mm]
> Angenommen es gibt eine solche Zahl, dann gilt
> [mm]e=(gh)^x=g^xh^x[/mm] was auf 2 Fälle führt:
> 1. Fall ([mm]g^x=h^x=e[/mm]): Hier hab ein Problem, das zu
> zeigen...vielleicht braucht man ja dafür die
> Voraussetzungen? ich weiß bloß nicht wie ich das
> einsetzen soll...
Nun. Die Ordnung von $g$ ist $n$, womit $n [mm] \mid [/mm] x$ gilt. Und die Ordnung von $h$ ist $m$, womit $m [mm] \mid [/mm] x$ gilt. Was folgt nun daraus? (Hier brauchst du auch $ggT(n, m) = 1$.)
> 2. Fall ([mm]h^x[/mm] ist das inverse von [mm]g^x[/mm]): Dann ist also
Ok, aber:
> [mm]h^x=g^y[/mm] mit [mm]g^xg^y=g^m=e[/mm], also [mm]xy=m[/mm], dann wäre aber [mm]x
was tust du da?!?
Du musst aus [mm] $h^x [/mm] = [mm] g^x$ [/mm] folgern, dass [mm] $h^x [/mm] = [mm] g^x [/mm] = e$ ist, und dann den ersten Fall verwenden.
Dazu: die Ordnung von [mm] $h^x$ [/mm] ist ein Teiler von $m$, und die Ordnung von [mm] $g^x$ [/mm] ist ein Teiler von $n$ (warum?). Was folgt nun aus $ggT(n, m) = 1$ fuer die Ordnung von [mm] $h^x$ [/mm] und [mm] $g^x$? [/mm] Was bedeutet das konkret fuer [mm] $h^x$ [/mm] und [mm] $g^x$ [/mm] selber?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Mi 25.04.2012 | | Autor: | rainman_do |
Hallo und auch für diese Antwort noch mal vielen lieben Dank. Die Aufgabe war etwas krasser. Mir ist ganz zum Schluss erst aufgefallen, was ich da für einen Denkfehler hatte.
Vielen Dank noch mal und viele Grüße, rainman_do
|
|
|
|
