Ordnung des Inversen Elements < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe und a,b [mm] \in [/mm] G
Beweise [mm] ord(a^{-1}) [/mm] = ord(a) |
Sei ord(a)=n, d.h. n = min [mm] \{ n \in\IZ| n >0, a^n =e \}
[/mm]
[mm] (a^{-1})^n [/mm] = [mm] a^{-1} a^{-1}.. a^{-1}
[/mm]
ich wüsst nicht wie ich das zusammenfassen kann, sodass ich die Vorrausetzung anwenden kann..
Liebe Grüße
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Hallo theresetom,
Bäume im Weg? So ist das im Wald...
> Es sei G eine Gruppe und a,b [mm]\in[/mm] G
> Beweise [mm]ord(a^{-1})[/mm] = ord(a)
> Sei ord(a)=n, d.h. n = min [mm]\{ n \in\IZ| n >0, a^n =e \}[/mm]
>
> [mm](a^{-1})^n[/mm] = [mm]a^{-1} a^{-1}.. a^{-1}[/mm]
> ich wüsst nicht wie
> ich das zusammenfassen kann, sodass ich die Vorrausetzung
> anwenden kann..
Wir wissen bisher doch nur [mm] a^n=e, [/mm] und dass kein kleineres n möglich ist.
Diese Gleichung verknüpfen (multiplizieren) wir jetzt mal mit [mm] a^{-1}, [/mm] natürlich auf beiden Seiten. Was steht dann da? Und wenn wir das wiederholen? Kann auf der linken oder rechten Seite irgendwann $e$ stehen? Wenn ja, wann, und wenn nein, warum nicht?
Spätestens nach n Schritten solltest Du fertig sein.
Grüße
reverend
> Liebe Grüße
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Hallo, danke für dein Posting.
[mm] a^n [/mm] = e
<=> [mm] a^n (a^{-1})^n [/mm] = [mm] (a^{-1})^n
[/mm]
<=> [mm] a^n (a^n)^{-1} [/mm] = [mm] (a^{-1})^n
[/mm]
<=> e= [mm] (a^{-1})^n
[/mm]
Wir haben nun gezeigt ord [mm] (a^{-1}) [/mm] = n
da vorher auf der linken Seite kein e auftritt.
Ich habe noch eine Frage zu Bsp b)
Zeige ord(ab)=ord(ba)
Sei ord(ab)=n -> [mm] (ab)^n [/mm] =e
[mm] (ab)^n [/mm] = (ab)*..*(ab)=a [mm] (ba)^{n-1} [/mm] b=e
a [mm] (ba)^{n-1} [/mm] b=e
<=> (b [mm] a)^{n-1} [/mm] = [mm] a^{-1} b^{-1}
[/mm]
<=> (b [mm] a)^{ n-1} [/mm] = [mm] (ba)^{-1}
[/mm]
<=> (b [mm] a)^n [/mm] =e
Ist damit schon gezeigt: ord(ba)= n oder nur ord(ba) [mm] \le [/mm] n ??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> [mm]a^n[/mm] = e
> <=> [mm]a^n (a^{-1})^n[/mm] = [mm](a^{-1})^n[/mm]
> <=> [mm]a^n (a^n)^{-1}[/mm] = [mm](a^{-1})^n[/mm]
> <=> e= [mm](a^{-1})^n[/mm]
> Wir haben nun gezeigt ord [mm](a^{-1})[/mm] = n
> da vorher auf der linken Seite kein e auftritt.
>
> Ich habe noch eine Frage zu Bsp b)
> Zeige ord(ab)=ord(ba)
> Sei ord(ab)=n -> [mm](ab)^n[/mm] =e
> [mm](ab)^n[/mm] = (ab)*..*(ab)=a [mm](ba)^{n-1}[/mm] b=e
> a [mm](ba)^{n-1}[/mm] b=e
> <=> (b [mm]a)^{n-1}[/mm] = [mm]a^{-1} b^{-1}[/mm]
> <=> (b [mm]a)^{ n-1}[/mm] =
> [mm](ba)^{-1}[/mm]
> <=> (b [mm]a)^n[/mm] =e
> Ist damit schon gezeigt: ord(ba)= n oder nur ord(ba) [mm]\le[/mm] n ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast gezeigt, dass
(*) [mm] $(ab)^n=e \gdw(ba)^n=e$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge1$ [/mm] gilt. Also ord(ab)=ord(ba).
Ich würde diese Ordnung nicht auch mit n bezeichnen, denn du benötigst (*) nicht nur für $n=ord(ab)$, sondern auch für alle kleineren [mm] $n\ge1$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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