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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:01 So 16.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Prüfe nach, ob die folgenden Optimierungsprobleme ein globales Minimum besitzen :
a). min [mm] $x^3+x$ [/mm] s.t. $x [mm] \geq-1$
[/mm]
b). min [mm] $x_1 x_2$ [/mm] s.t [mm] $x_1 \geq [/mm] 0$, [mm] $x_2 \geq [/mm] 0$
c). min [mm] $x_1^2 [/mm] - [mm] x_2^2$ [/mm] s.t. [mm] $x_2 \geq0$, $x_2 \leq1$ [/mm] |
Hallo,
kann jemand mir bestätigen dass ich richtig gemacht habe?
Ich suche kritischen Punkt von der Funktion. Und [mm] $\bar{x}$ [/mm] ist kritischer Punkt von Funktion f wenn D [mm] f($\bar{x}$) [/mm] = 0 und fuer f konvex ist jeder krit. Punkt von f auch globales Min von f. Und f ist konvex wenn [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : f(x) [mm] \geq f(\bar{x}) [/mm] + [mm] Df(\bar{x}).(x-\bar{x})$
[/mm]
a). D [mm] f($\bar{x}$) [/mm] = [mm] $3x^2+1$ [/mm] = 0
=> [mm] $x^2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}$
[/mm]
=> Da [mm] $\bar{x} =\sqrt{-\frac{1}{3}} \notin \IR^n$ [/mm] ist, dann hat die Funktion kein globales Minimum.
b).D f(x) = [mm] ($x_2,x_1$)
[/mm]
=> [mm] $\bar{x}=(0,0)$
[/mm]
Und jetzt pruefe ich ob die Funktion konvex ist.
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : f(x) [mm] \geq f(\bar{x}) [/mm] +D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$
[/mm]
Ja, die Bedingung ist erfuellt.
[mm] Df($\bar{x}$) [/mm] = 0 daher $D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$ [/mm] = 0
Und [mm] $f(\bar{x}$ [/mm] = 0 deswegen gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : f(x) [mm] \geq f(\bar{x}) [/mm] +D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$
[/mm]
=> die Funktion besitzt glob. Min.
c). $D [mm] f(\bar{x}) [/mm] = [mm] (2x_1 [/mm] , [mm] -2x_2)$
[/mm]
=> [mm] $\bar{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }$
[/mm]
Und jetzt pruefe ob f konvex ist, damit [mm] $\bar{x}$ [/mm] glob. Min von f ist.
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : f(x) [mm] \geq f(\bar{x}) [/mm] +D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$
[/mm]
[mm] D$f(\bar{x}$) [/mm] = 0 daher $D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$ [/mm] = 0 und gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : f(x) [mm] \geq f(\bar{x}) [/mm] +D [mm] f(\bar{x}) (x-\bar{x})$
[/mm]
=> die Funktion hat glob. Min.
Ist es richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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