Optimierungsaufgabe 3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:50 Do 12.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") := bereits korrigiert/nachgesehen/kontrolliert
Ich mache das deshalb, da ich diesen Thread immer wieder erweitere wenn ich ein Problem gelöst habe. Sonst verteilt sich die Lösung auf so viele Beiträge!
Ich markiere nachdem ich weitergerechnet/verbessert habe den Thread wieder als "unbeantwortet", so dass alles in einem Thread bleibt. Falls das aus irgendeinem Grund stört oder irgendwelche "Nachteile" für jemand mit sich bringt, dann bitte melden und ich lasse es.
Funktion: $f: [mm] \IR^2 \to \IR$; $f(x)=x_1^2+2 x_2$
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] $x_1 x_2 [/mm] = 1$ [mm] $\Rightarrow$ $x_1 x_2-1 [/mm] = 0$
Aufstellen der Lagrange-Funktion: [mm] $f(\lambda, x)=x_1^2+2 x_2 \red{+} \lambda [/mm] * [mm] (x_1 x_2-1)$
[/mm]
Ausmultiplizieren der Lagrange-Funktion: [mm] $f(\lambda, x)=x_1^2+2 x_2 \red{+} \lambda x_1 x_2 [/mm] - [mm] \lambda$
[/mm]
Partielle Ableitung nach [mm] $x_1$: [/mm] $f [mm] \blue{'} (x_1)=2 x_1+ \lambda x_2$
[/mm]
Partielle Ableitung nach [mm] $x_2$: [/mm] $f [mm] \blue{'} (x_2)=2 [/mm] + [mm] \lambda x_1$
[/mm]
Partielle Ableitung nach [mm] $\lambda$: [/mm] $f [mm] \blue{'} (\lambda)=x_1 x_2 [/mm] - 1$
a01. $f [mm] \blue{'} (x_1)=2 x_1+ \lambda x_2$
[/mm]
a02. $2 [mm] x_1+ \lambda x_2 [/mm] = 0$
a03. [mm] $x_2 [/mm] = - 2 [mm] x_1$
[/mm]
a04. [mm] $\red{x_2}=-\bruch{2 x_1}{\lambda}$
[/mm]
b01. $f [mm] \blue{'} (x_2)=2 [/mm] + [mm] \lambda x_1$
[/mm]
b02. $2 + [mm] \lambda x_1=0$
[/mm]
b03. [mm] $\lambda x_1=-2$
[/mm]
b04. [mm] $\red{x_1=- \bruch{2}{\lambda}}$
[/mm]
Einsetzen von [mm] $x_1$ [/mm] in [mm] $x_2$:
[/mm]
c01. [mm] $x_2=-\bruch{2 x_1}{\lambda}$
[/mm]
c02. [mm] $x_2=-\bruch{2 \green{(- \bruch{2}{\lambda})}}{\lambda}$
[/mm]
c03. [mm] $x_2=-\bruch{- \bruch{4}{\lambda}}{\lambda}$
[/mm]
c04. [mm] $\red{x_2=\bruch{4}{\lambda^2}}$
[/mm]
Einsetzen von [mm] $\red{x_1=- \bruch{2}{\lambda}}$ [/mm] & [mm] $\red{x_2=\bruch{4}{\lambda^2}}$ [/mm] in $f [mm] \blue{'} (\lambda)=x_1 x_2 [/mm] - 1$:
d01. $f [mm] \blue{'} (\lambda)=(- \bruch{2}{\lambda}) [/mm] * [mm] (\bruch{4}{\lambda^2}) [/mm] - 1$
d02. $f [mm] \blue{'} (\lambda)=- \bruch{8}{\lambda^3} [/mm] - 1$
d03. $f [mm] \blue{'} (\lambda)=- \bruch{8}{\lambda^3} [/mm] - 1$
$f [mm] \blue{'} (\lambda)=- \bruch{8}{\lambda^3} [/mm] - 1$ auflösen nach [mm] $\lambda$:
[/mm]
e01. $f [mm] \blue{'} (\lambda)=- \bruch{8}{\lambda^3} [/mm] - 1$
e02. $- [mm] \bruch{8}{\lambda^3} [/mm] - 1=0$
e03. $- 8 - [mm] \lambda^3=0$
[/mm]
e04. $ [mm] \lambda^3=-8$
[/mm]
e05. $ [mm] \lambda =\wurzel[3]{-8}$
[/mm]
e06. $ [mm] \lambda [/mm] =-2$
Das lokale Extrema befindet sich an der Stelle $ [mm] \lambda [/mm] =-2$.
Jetzt setze ich [mm] $\lambda [/mm] =-2$ in [mm] $\red{x_1=- \bruch{2}{\lambda}}$ [/mm] & [mm] $\red{x_2=\bruch{4}{\lambda^2}}$:
[/mm]
f01. [mm] $x_1=- \bruch{2}{\lambda}$
[/mm]
f02. [mm] $x_1=- \bruch{2}{-2}$
[/mm]
f03. [mm] $x_1=1$
[/mm]
g01. [mm] $x_2=\bruch{4}{(-2)^2}$
[/mm]
g02. [mm] $x_2=\bruch{4}{4}$
[/mm]
g03. [mm] $x_2=1$
[/mm]
Die funktion hat an der Stelle 1 ein lokales Extrema.
Ich weiß aber nicht ob sie dort ein Maxima oder Minima hat.
Gradient bestimmen:
Funktion: $f: [mm] \IR^2 \to \IR$; $f(x)=x_1^2+2 x_2$
[/mm]
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2*x_1\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
Einsetzen der Werte [mm] $x_1=1$, $x_2=1$ [/mm] --> (1, 1):
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2*1\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
Der Gradient ist nicht 0, also liegt kein lokales Extremum vor und ich bin fertig.
Frage:
In diesem Fall würde es jetzt keinen Unterschied machen, wenn ich den negativen Gradient bestimmen würde, da der Gradient trozdem nicht 0 ist. Müsste ich aber jetzt normalerweise nochmal den negativen Gradient untersuchen, da die Aufgabe aufgrund der Stellung keine Einschränkungen für den negativen Bereich trifft?
Danke
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Die "Variable" [mm] $\lambda$ [/mm] ist doch lediglich eine eingeführte Hilfsgröße, die wir in unserer ursprünglichen Funktion [mm] $f(x_1, x_2)$ [/mm] gar nicht haben.
Von daher würde ich immer versuchen, diese Variable [mm] $\lambda$ [/mm] als erstes aus den partiellen Ableitungen zu isolieren und damit zu eliminieren.
Welche Werte [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] erhältst Du denn für Dein ermitteltes [mm] $\lambda_E [/mm] \ = \ -2$ ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Do 12.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Loddar,
ich habe den Haupthread nochmal geändert und etwas weitergerechnet. Stimmt er jetzt?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Na, nun weiter mit der HESSE-Matrix sowie den stationären Punkt [mm] $(x_1;x_2) [/mm] \ = \ (1;1)$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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> Na, nun weiter mit der HESSE-Matrix sowie den stationären
> Punkt [mm](x_1;x_2) \ = \ (1;1)[/mm] einsetzen.
Hallo,
ich meine, daß er das für die Aufgabe nicht unbedingt tun muß, daß die Angabe der kritischen Punkte reicht.
Denn da stand: "einen lokalen Extremwert haben KANN".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
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... wer lesen kann, ist klar im Vorteil! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Damit wäre die Aufgabe an der Stelle wirklich beendet.
Gruß
Loddar
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
:= bereits korrigiert/nachgesehen/kontrolliert
Ich mache das deshalb, da ich diesen Thread immer wieder erweitere wenn ich ein Problem gelöst habe. Sonst verteilt sich die Lösung auf so viele Beiträge!
Ich markiere nachdem ich weitergerechnet/verbessert habe den Thread wieder als "unbeantwortet", so dass alles in einem Thread bleibt. Falls das aus irgendeinem Grund stört oder irgendwelche "Nachteile" für jemand mit sich bringt, dann bitte melden und ich lasse es.
Hi Angela und Loddar,
ich weiß zwar mittlerweile, dass ich die Hesse-Matrix nicht machen müsste da es im Text heißt "... haben kann..." aber zur Übung würde ich es gerne trozdem machen.
Funktion: $f: [mm] \IR^2 \to \IR$; $f(x)=x_1^2+2 x_2$
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] $x_1 x_2 [/mm] = 1$ [mm] $\Rightarrow$ $x_1 x_2-1 [/mm] = 0$
Bevor ich damit anfange, habe ich eine Frage. Mich macht die Nebenbedingung unsicher.
Ich würde jetzt wie folgt vorgehen:
1. Ich würde den Gradient der Funktion $f: [mm] \IR^2 \to \IR$; $f(x)=x_1^2+2 x_2$ [/mm] bestimmen.
2. Danach die Hesse-Matrix aufstellen
3. Die Werte einsetzen die ich ermittelt habe (1, 1)
5. Die Definitheit der Hesse-Matrix prüfen.
Stimmt das so?
Danke Grüße
Thomas
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> Hi Angela und Loddar,
>
> ich weiß zwar mittlerweile, dass ich die Hesse-Matrix nicht
> machen müsste da es im Text heißt "... haben kann..." aber
> zur Übung würde ich es gerne trozdem machen.
Das ahnte ich!
>
>
>
> Funktion: [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm]; [mm]f(x)=x_1^2+2 x_2[/mm]
>
> Nebenbedingung: [mm]x_1 x_2 = 1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x_1 x_2-1 = 0[/mm]
>
>
>
> Bevor ich damit anfange, habe ich eine Frage. Mich macht
> die Nebenbedingung unsicher.
>
> Ich würde jetzt wie folgt vorgehen:
>
> 1. Ich würde den Gradient der Funktion [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm];
> [mm]f(x)=x_1^2+2 x_2[/mm] bestimmen.
>
> 2. Danach die Hesse-Matrix aufstellen
>
> 3. Die Werte einsetzen die ich ermittelt habe (1, 1)
>
> 5. Die Definitheit der Hesse-Matrix prüfen.
Es stimmt nahezu.
Ich sehe hier zwei Möglichkeiten.
1. Bei der einen berechnest Du sämtliche lokalen Extremwerte, und dann schaust Du nach, welcher auf dem Rand liegt.
(Dann hättest Du Dir allerdings den Lagrange sparen können - also ist das hier nicht gefordert.)
2. Die andere Möglichkeit: Du weißt, daß dort, wo lokale Extremwerte vorliegen, der Gradient =0 ist.
Nun berechnst Du zuerst den Gradienten. Da Dich nur interessiert, ob der von Dir bestimmte Punkt ein lokaler Extremwert ist, setzt Du ihn in den Gradienten ein und guckst, ob der Gradient =0 wird.
Falls das nicht der Fall ist, liegt an der Stelle (1,1) gewiß kein lokales Extremum vor.
Falls der Gradient für (1,1) =0 ist, stellst Du die Hessematrix auf unfd prüfst ihre Definitheit im Punkt (1,1).
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
danke für die lange Erklärung! Ich habe das jetzt mal gerechnet, müsste stimmen denke ich mal, bin mir aber wie so oft nicht 100%ig sicher.
Gradient bestimmen:
Funktion: $f: [mm] \IR^2 \to \IR$; $f(x)=x_1^2+2 x_2$
[/mm]
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2*x_1\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
Einsetzen der Werte [mm] $x_1=1$, $x_2=1$ [/mm] --> (1, 1):
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2*1\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
$grad [mm] (f)(x_1, x_2)=(2\ [/mm] \ [mm] \blue{;}\ [/mm] \ 2)$
Der Gradient ist nicht 0, also liegt kein lokales Extremum vor und ich bin fertig.
Frage:
In diesem Fall würde es jetzt keinen Unterschied machen, wenn ich den negativen Gradient bestimmen würde, da der Gradient trozdem nicht 0 ist. Müsste ich aber jetzt normalerweise nochmal den negativen Gradient untersuchen, da die Aufgabe aufgrund der Stellung keine Einschränkungen für den negativen Bereich trifft?
Danke
Grüße
Thomas
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>
> Gradient bestimmen:
>
> Funktion: [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm]; [mm]f(x)=x_1^2+2 x_2[/mm]
>
> [mm]grad (f)(x_1, x_2)=(2*x_1\ \ \blue{;}\ \ 2)[/mm]
>
>
> Einsetzen der Werte [mm]x_1=1[/mm], [mm]x_2=1[/mm] --> (1, 1):
>
> [mm]grad (f)(x_1, x_2)=(2*1\ \ \blue{;}\ \ 2)[/mm]
>
> [mm]grad (f)(x_1, x_2)=(2\ \ \blue{;}\ \ 2)[/mm]
>
> Der Gradient ist nicht 0, also liegt kein lokales Extremum
> vor und ich bin fertig.
Hallo,
richtig.
Schreiben würde ich genauer: der Gradient an der Stelle (1,1) ist ungleich 0, und deshalb liegt hier kein lokales Extremum vor.
Wenn Du scharf hinschaust, siehst Du sogar sofort, daß nirgendwo bei f(x,y) ein lokaler Extremwert vorliegt. Denn den y-Wert des Gradienten bekommt man niemals auf 0.
>
> In diesem Fall würde es jetzt keinen Unterschied machen,
> wenn ich den negativen Gradient bestimmen würde,
Ich ahne dunkel, was Du meinst - den Gradienten von "minus f".
Nein, Du brauchst das nicht zu tun.
Und wenn Du das Verfahren mit der Hessematrix und wie man daran erkennt, ob es ein Minimum oder Maximum ist, weißt, gebe ich Dir einen guten Rat: vergiß diese Sache mit dem -f. Sie verwirrt Dich, und sie nützt Dir nichts.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Fr 13.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
du hast mich verstanden auf was ich hinaus will :)
Ok ich vergesse den misst jetzt. Wenn du mir sagst dass ich das nie brauche, dann werd ich das jetzt auch nicht mehr anwenden wollen :)
Danke
Grüße Thomas
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