Optimierung e. Flächeninhaltes < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 08.10.2009 | | Autor: | schlauby |
| Aufgabe | | Gesucht ist eine Figur mit möglichst großem Flächeninhalt. Der Umfang der Figur ist gegeben, z.B. 20 cm. Es sind alle rechtwinkligen Formen möglich, also nicht nur Rechtecke. |
Ich schreibe gerade an der Sachanaylse meines Unterrichtsentwurfs. Es geht um eine 4.Klasse Grundschule, die mithilfe von Streichhölzern Figuren legen soll. Die Anzahl der Streichhölzer (also der Umfang) ist festgelegt. Die Streichhölzer dürfen belieb, aber nicht schräg gelegt werden.
Nun habe ich ein Problem bei meiner Sachanalyse. Klar ist, dass ein Quadrat die größte Fläche besitzt (Beweis über Ableitungsfunktion kein Problem). Aber wie beweise ich, dass die vielen anderen Formen nicht größer sein können, z.B. ein Gebilde, das wie ein T oder ein L aussieht.
z.B.
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Versteht ihr meine Frage? Vielen Dank für alle Antowrten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlauby,
Du erliegst einem naheliegenden Irrtum.
> Gesucht ist eine Figur mit möglichst großem
> Flächeninhalt. Der Umfang der Figur ist gegeben, z.B. 20
> cm. Es sind alle rechtwinkligen Formen möglich, also nicht
> nur Rechtecke.
Ok. Siehe unten.
> Ich schreibe gerade an der Sachanaylse meines
> Unterrichtsentwurfs. Es geht um eine 4.Klasse Grundschule,
> die mithilfe von Streichhölzern Figuren legen soll. Die
> Anzahl der Streichhölzer (also der Umfang) ist festgelegt.
> Die Streichhölzer dürfen belieb, aber nicht schräg
> gelegt werden.
>
> Nun habe ich ein Problem bei meiner Sachanalyse. Klar ist,
> dass ein Quadrat die größte Fläche besitzt
Falsch. Das ist nicht allgemein gültig.
> (Beweis über
> Ableitungsfunktion kein Problem).
Dann zeig mal den Beweis. Immer noch: siehe unten.
> Aber wie beweise ich,
> dass die vielen anderen Formen nicht größer sein können,
> z.B. ein Gebilde, das wie ein T oder ein L aussieht.
>
> z.B.
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> Versteht ihr meine Frage? Vielen Dank für alle Antowrten.
Ja, verstehe ich.
Beispiel: Umfang U=14
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Fläche F=10. Ebenso aber die folgenden Figuren:
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[mm] \text{ } [/mm] ###
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etc.
Geht es größer? Na klar:
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Die Figur entsteht aus einer der beiden davor durch "Umklappen". Nach innen gewandte Ecken werden nach außen gekrempelt, würde Dein Viertklässler vielleicht sagen.
Das Problem ist nicht lösbar, wenn [mm] \a{}U=2k-1 [/mm] ist.
Für [mm] \a{}U=4n [/mm] ist die maximale Fläche offensichtlich [mm] F=n^2.
[/mm]
Für [mm] \a{}U=4n+2=2(2n+1) [/mm] ist die maximale Fläche [mm] \a{}F=n(n+1).
[/mm]
Hast Du jetzt eine Idee für Deine Sachanalyse?
Wenn nicht, komm wieder.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Fr 09.10.2009 | | Autor: | reverend |
Nachtrag:
Vielleicht ist die Aufgabe doch zu schwer für Viertklässler. 
Zu zeigen ist "nur":
1) Zu jeder rechteckigen nicht-konvexen Form gibt es mindestens eine Form gleichen Umfangs mit größerer Fläche.
2a) Für alle a,n>0 gilt: [mm] n^2>(n+a)(n-a)
[/mm]
2b) Für alle a,n>0 gilt: n(n+1)>(n-a)(n+a+1)
3) Für alle n=2m+1 ist keine rechteckige Form mit dem Umfang U=n möglich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Fr 09.10.2009 | | Autor: | schlauby |
> Dann zeig mal den Beweis. Immer noch: siehe unten.
Flächeninhalt A, Umfang U, Seitenlänge a,b
Es gilt A = a * b und U = 2a + 2b
also A = a * (U/2-a) = aU/2 - [mm] a^2
[/mm]
Als Funktion A(a) = aU/2 - [mm] a^2
[/mm]
Ableitung A'(a) = U/2 - 2a
Nullstelle 0 = U/2 - 2a, also a = U/4
Daraus folgt, dass A(a) seine Maximalstelle erreicht, wenn es sich bei dem Rechteck um ein Quadrat handelt (weil a = U/4).
Problem war ja nur, wie kann ich beweisen, dass alle anderen rechtwinkligen Formen nicht größer sein können?!
>1) Zu jeder rechteckigen nicht-konvexen Form gibt es mindestens eine >Form gleichen Umfangs mit größerer Fläche.
>2a) Für alle a,n>0 gilt: $ [mm] n^2>(n+a)(n-a) [/mm] $
>2b) Für alle a,n>0 gilt: n(n+1)>(n-a)(n+a+1)
>3) Für alle n=2m+1 ist keine rechteckige Form mit dem Umfang U=n >möglich.
Trotz Mathestudium hab ich das jetzt nicht ganz nachvollziehen können ... ist im Moemnt auch alles etwas hektisch. Allerdings hatte ich gestern die selbe Idee, wie du sie witzigerweise mit den selben Worten beschreibst: jede beliebige Figur lässt sich durch "umklappen" in ein flächengrößeres Rechteck verändern. Damit gibt es immer ein Rechteck, dass größer ist und das Quadrat ist das größte Rechtecke --- also ist das Quadrat die flächengrößte Form.
Ich habe das noch etwas netter formuliert, für eine Sachanalyse einer Grundschulstunde denke ich, dass das reicht. Wenn ich mal wieder mehr Zeit habe, grübel ich über deinen Beweis  ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 09.10.2009 | | Autor: | schlauby |
p.s.
Ja klar, das mit dem Quadrat funktioniert natürlich nur, wenn ich die Seitenlängen nicht auf ein Einheitsmaß beschränke (z.B. ganze cm). Deshalb gebe ich den Schülern auch eine bestimmte Anzahl von Streichhölzern (entweder 20 oder 16).
Fixe Schüler sollen dann einmal mit 22 Streichhölzern nach einer möglichst großen Fläche suchen. Vielleicht kommen sie ja darauf, zwei Streichhölzer durchzubrechen ... wäre pfiffig.
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