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| Aufgabe | Lösen Sie das Problem der "total least squares". Minimieren Sie dazu
[mm] \summe_{i=1}^N[(x_i-\hat{x}_i)^2+(y_i-\hat{y}_i)^2]
[/mm]
wobei
[mm] p\hat{x}_i+q\hat{y}_i+r=0 [/mm] und [mm] p^2+q^2=1.
[/mm]
Lösen Sie das Problem unter Verwendung der Matrizen D = [x y] und [mm] \hat{D}=[\hat{x} \hat{y}] \in \IR^{N\times 2}, [/mm] wobei [mm] x,\hat{x},y,\hat{y} \in \IR^N.
[/mm]
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Hallo!
Prinzipiell ist mir die Aufgabe schon klar, nur bei den Details hakt es.
Zunächst mal, wie kann ich die Summe mittels D und [mm] \hat{D} [/mm] darstellen? Ich hätte die Matrizen anders definiert, dann wäre es für mich eindeutig, so dass ich etwas wie
S = [mm] (D-\hat{D})^T (D-\hat{D})
[/mm]
bekommen hätte.
Meine zweite Frage: Wie gehe ich bei der Optimierung geschickt vor? Wahrscheinlich ist es zweckmäßig, die Gleichung [mm] p\hat{x}_i+q\hat{y}_i+r=0 [/mm] in Matrix-Vektor Schreibweise umzuschreiben, nach [mm] \hat{D} [/mm] aufzulösen, und diesen Term dann in S einzusetzen. Dann könnte man bezüglich p, q, r optimieren unter Berüchsichtigung der Nebenbedingung [mm] p^2+q^2=1.
[/mm]
Mein Problem ist nun aber, wenn ich [mm] p\hat{x}_i+q\hat{y}_i+r=0 [/mm] in Vektorschreibweise habe, wie kann ich nach [mm] \hat{D} [/mm] auflösen?
Ich danke euch schonmal für eure Hilfe!
Papillon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 10.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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