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| Aufgabe | Zur Lösung des linearen 2x2-Gleichungssystems [mm] \pmat{ 1 & -a \\ -a & 1 } [/mm] sei das folgende Iterationsverfahren angesetzt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -w*a & 1 }*x_{t}=\pmat{ 1-w & wa\\ 0 & 1-w }*x_{t-1}+w*b [/mm] mit [mm] w\in \IR.
[/mm]
Man bestimme für a=0,5 den Wert w für den der Spektralradius der Iterationsmatrix [mm] B_{w} [/mm] minimal wird und skizziere den Graphen der Funktion [mm] f(w)=spr(B_{w}) [/mm] |
Prinzipiell ist mir die Aufgabe klar. Ich habe eine Funktion der Eigenwerte berechnet.
[mm] B_{w}=\pmat{ 1-w & \bruch{1}{2}*w \\ \bruch{1}{2}*w*(1-w) & \bruch{1}{4}*w^{2}+1-w }
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=\bruch{1}{8}*w^{2}+1-w+\bruch{w}{2}*\wurzel{1-w+\bruch{1}{16}*w^{2}}
[/mm]
Die Wurzel ist für [mm] 8-4*\wurzel{3}
Unsere Endfunktion ist (und das verstehe ich nicht):
[mm] f(w)=\begin{cases} \bruch{1}{8}*w^{2}+1-w+\bruch{w}{2}*\wurzel{1-w+\bruch{1}{16}*w^{2}}, & 0\le w\le 8-4*\wurzel{3} \\ w-1, & 8-4*\wurzel{3}
Nun meine Fragen:
- warum muss [mm] w\ge [/mm] 0 sein?
- Warum ist der zweite "Zweig" von f(w)=w-1? Und wie berechne ich ihn, wenn nicht?
- Warum geht der zweite Zweig nur bis [mm] 8+4*\wurzel{3}?
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 07.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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