Optimaler Quader - Wettbewerb < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 22:33 Sa 05.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
| Aufgabe | Aus den Threads Nr. 386167 und 388321 ergibt sich folgende Aufgabe:
Aus einem 480 m langen Draht soll ein Quader hergestellt werden.
Dabei verläuft der Draht in der Länge einfach, in der Breite zweifach und in der Höhe dreifach (siehe Zeichnung).
Für welche Kantenlängen (Länge, Breite, Höhe) ist das Produkt aus Volumen und Oberfläche maximal ?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe das Ganze schon etwas vorbereitet.
Im Endeffekt müssen "nur" noch folgende zwei Gleichungen gelöst werden:
1.) a + 2b + 3c = 120
2.) abc * (ab + ac + bc) = MAXIMAL
So, jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder jemand liefert das absolute Maxima für Gleichung 2.) - natürlich unter Berücksichtigung von Gleichung 1.)
oder wir machen hier einen Wettbewerb, wer das beste Tripel a,b,c (den höchsten Wert) liefert.
P.S.
Für das Tripel mit dem größten Volumen (40/20/13,333) kommt als Wert raus: circa 17.066.666
Dagegen liefert das willkürliche Tripel 42/21/12 einen höheren Wert, nämlich 17.336.592
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Sa 05.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Aus den Threads Nr. 386167 und 388321 ergibt sich folgende
> Aufgabe:
Bitte gebe in Zukunft Links an - aber ich nehem mal an zwei Maximierungsaufgaben, eine auf Volumen, eine auf Umfang?
> 1.) a + 2b + 3c = 120
>
> 2.) abc * (ab + ac + bc) = MAXIMAL
Die eigentlich interessante Frage: wenn ich möglichst großes Volumen und Umfang will - ist dann der Produktausdruck sinnvoll? Das sehe ich nicht (jedenfalls noch nicht). Ich gehe auch davon aus, dass der übliche "Fehler" in der Aufgabenstellung ist und man noch die Bedingungen [m]a,b,c \ge 0[/m] gleich annhemen kann, ohne eventuelle Lösungen, die diese nicht erfüllen, wegzudiskutieren (ich bin mir sicher, dass man dies kann, aber gerade zu faul ;)).
> So, jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
> Entweder jemand liefert das absolute Maxima für Gleichung
Eine algebraisch geschlossene Lösung kann ich nicht bieten - es kommen Nullstellen von Polynomen höheren Grades vor, die man (anscheinend - ich lass das Mupad machen) nicht geschlossen lösen kann.
Also eine Roadmap zu beliebig genauer Lösung:
Existenz: mit obiger zusätzlicher Annahme nimmt die diffbare Gleichung auf dem Kompaktum [m]\{(x,y,z)|x+2y+3z=120,x,y,z\ge 0\}[/m] ein Maximum im Inneren größer 0 (wg. der Form von 2.)) an. Das heisst der Gradient verschwindet an dieser Stelle. Ich parametrisiere das c weg, stelle es also durch x und y dar und erstelle eine diffbare Funktion [m]g:\IR^2->IR, (x,y)\mapsto 2.)(x,y,40-x/3-2/3*y)[/m].
Dann lasse ich den Gradienten berechnen von einem CAS (ich hab MuPAD), berechne die Nullstellen und lasse sie mir numerisch lösen. Dann überprüfe ich die Varibalen, ob sie mit meinen weiteren Bedingungen übereinstimmen und nehme dann die, für die 2.) maximal wird.
Ergebnis (angeblich auf 20 stellen für x, y genau): [m](a = 44.587089099892161894, b = 20.24100229361995338, c = 11.643635437622643782)[/m] mit dem Wert 17415527.683312925761
> oder wir machen hier einen Wettbewerb, wer das beste Tripel
> a,b,c (den höchsten Wert) liefert.
Das wird maximal ein Wettbewerb, möglichst viele Stellen von [m]\pi[/m] zu errechnen - es hat für die eigentliche Lösung keinen Nutzen mehr. Aber bessere und elegantere Lösungen zu finden (die zB Symmterien ausnutzen) und dann doch geschlossene Lösungen zu finden köntne jemanden reizen.
Der Aufruf hat mich jedenfalls angestachelt, die Aufgabe zu lösen - zumal man von der Theorie sofort weiß, daß sie lösbar ist. Ich mustte also anfangen, wirklich zu rechnen - oder meinen Comouter rechnen zu lassen. :)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 So 06.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, dass du (bzw. dein Computer) dir die Mühe gemacht hast, das auszurechnen.
Nun, mir kam es dabei nicht so sehr auf die Anzahl der Stellen nach dem Komma an, sondern mich interessierte, wie wohl dieser "produkt-optimierte" Quader aussehen mag.
Denn sowohl für das maximale Volumen als auch für die maximale Oberfläche war das Ergebnis relativ "einfach" - in dem einen Fall war die Länge doppelt so groß wie die Breite und dreimal so groß wie die Höhe, und im anderen Fall tendierte die Höhe gegen NULL.
Aber dieser "produkt-optimierte" Quader, den du da ermittelt hast, scheint Maße zu haben, denen man es nicht ansieht, dass sie irgend etwas "Besonderes" darstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 So 06.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Interessante Aufgabe. Ja, praktischen Nutzen hat sie bestimmt nicht, aber ich komme auch auf SEckis Ergebnisse.
Vielleicht wäre es besser, den Quotient aus Volumen und Oberflächeninhalt zu berechnen, der dann maximal sein soll.
a+2b+2c=120
[mm] Q(a,b,c)=\bruch{abc}{6(ab+ac+bc)}
[/mm]
Ich komme dort auf:
[mm] a\approx28.94171458
[/mm]
[mm] b\approx20.46488264
[/mm]
[mm] c\approx16.70950670
[/mm]
und auf ein Verhältnis von 1.163365060:1 ca.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 So 06.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Deine Idee mit dem Quotienten finde ich sehr interessant - da ergibt sich wieder ein anderer Quader ("Quotienten-optimiert")
Wie muss man das Verhältnis von 1.163365060:1 interpretieren?
Wenn man Volumen durch Fläche dividiert, dann kommt doch eine Strecke raus.
Hieße das dann nicht: Ein Quader mit der Grundfläche = "Oberfläche des quotienten-optimierten Quadaders" und der Höhe 1.1634 m hat das selbe Volumen wie der quotienten-optimierte Quader
Oder mit anderen Worten: 1.1634 m ist die größtmögliche Höhe (bei den vorgegebenen Neben-Bedingungen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 So 06.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja, eine Strecke kommt raus, aber das war für mich eher so nur Zusatzinfo, deshalb habe ich auch die ganzen Einheiten weggelassen. Ich wollte eher drauf hinaus, dass man doch immer viel Volumen bei wenig Oberfläche (Zwecks z.B. Materialverbrauch) will und bin so auf den quotientenoptimierten Quader gekommen.
Teufel
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