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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 10.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | (X,<,>) sei ein Prähilbertraum. Für jedes y definieren wir die lineare Abbildung [mm] T_{x_0}:X [/mm] -> [mm] \IK [/mm] wie folgt:
[mm] T_{x_0} [/mm] x [mm] := \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Zeigen Sie, dass [mm] T_{x_0} [/mm] stetig ist und bestimmen Sie ihre Operatornorm! |
Hallo.
Die Lösung zur Aufgabe geht wie folgt:
Sei [mm] (y_i) \in [/mm] X mit [mm] y_i \to y_0.
[/mm]
Es ist [mm] d((x_0,y_i),(x_0,y_0)) [/mm] = [mm] |(x_0,y_i)-(x_0,y_i)| [/mm] = [mm] |
[mm] \le ||x_0|| ||y_i y_0|| \to [/mm] 0 für i [mm] \to \infty
[/mm]
=> [mm] T_{x_0} [/mm] ist stetig für festes [mm] x_0
[/mm]
Zeige: [mm] ||T_{x_0} [/mm] = [mm] ||x_0||
[/mm]
1. Fall: [mm] x_0 [/mm] = 0 => [mm] ||T_{x_0}|| [/mm] = 0
2. Fall [mm] x_0 \not= [/mm] 0 =>
[mm] |T_{x_0}| [/mm] = [mm] || \le ||x_0|| [/mm] ||x|| [mm] \underbrace{=}_{||x||=1} [/mm] = [mm] ||x_0||
[/mm]
Warum ist die Norm von x gerade gleich 1?
[mm] ||T_{x_0}|| [/mm] = [mm] sup_{||x||=1} |T_{x_0}x| [/mm] = [mm] sup_{||x||=1} || \ge || [/mm] = [mm] ||x_0||
[/mm]
Warum gilt die größergleich Beziehung? Ich kann die leider nicht einsehen.
Damit haben wir gezeigt: [mm] ||T_{x_0}|| [/mm] = [mm] ||x_0||
[/mm]
Warum wurde durch die beiden Fälle [mm] ||T_{x_0}|| \ge [/mm] = [mm] ||x_0||und |T_{x_0}| [/mm] = [mm] ||x_0|| [/mm] gezeigt, dass die Norm von [mm] T_{x_0} [/mm] gleich der Norm von [mm] x_0 [/mm] ist? Ich verstehe nicht, warum man oben mit dem Betrag von [mm] T_{x_0}x [/mm] arbeitet
Hintergrunddetaills:
In unserer Vorlesung haben wir definiert
Definition
Sei T: X -> Y linear und stetig
||T|| := inf [mm] \{ M \ge 0 : ||Tx|| \le M||x|| \forall x \in X \} [/mm] heißt die Operatornorm von T
Satz
Sei T : X -> Y linear und stetig, dann gilt
a) ||T|| = [mm] sup_{x \not= 0} \frac{||Tx||}{||x||} [/mm] = [mm] sup_{||x|| = 1} [/mm] ||Tx|| = [mm] sup_{||x|| \le 1}
[/mm]
b) ||Tx|| [mm] \le [/mm] ||T||*||x|| [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Vielen Dank!
valaida
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (X,<,>) sei ein Prähilbertraum. Für jedes y definieren
> wir die lineare Abbildung [mm]T_{x_0}:X[/mm] -> [mm]\IK[/mm] wie folgt:
>
> [mm]T_{x_0}[/mm] x [mm]:= \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
>
> Zeigen Sie, dass [mm]T_{x_0}[/mm] stetig ist und bestimmen Sie ihre
> Operatornorm!
>
> Hallo.
>
> Die Lösung zur Aufgabe geht wie folgt:
>
> Sei [mm](y_i) \in[/mm] X mit [mm]y_i \to y_0.[/mm]
>
> Es ist [mm]d((x_0,y_i),(x_0,y_0))[/mm] = [mm]|(x_0,y_i)-(x_0,y_i)|[/mm] =
> [mm]|
Da soll wohl eher stehen: [mm] $d(T_{x_0} y_i, T_{x_0} y_0) [/mm] = [mm] |T_{x_0} y_i [/mm] - [mm] T_{x_0} y_0| [/mm] = [mm] ||$.
[/mm]
> [mm]\le ||x_0|| ||y_i y_0|| \to[/mm] 0 für i [mm]\to \infty[/mm]
Und da fehlt ein $-$.
Das ist Cauchy-Schwarz.
> => [mm]T_{x_0}[/mm] ist stetig für festes [mm]x_0[/mm]
>
> Zeige: [mm]||T_{x_0}[/mm] = [mm]||x_0||[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]x_0[/mm] = 0 => [mm]||T_{x_0}||[/mm] = 0
Ja.
> 2. Fall [mm]x_0 \not=[/mm] 0 =>
> [mm]|T_{x_0}|[/mm] = [mm]|| \le ||x_0||[/mm] ||x||
> [mm]\underbrace{=}_{||x||=1}[/mm] = [mm]||x_0||[/mm]
>
> Warum ist die Norm von x gerade gleich 1?
Weil da vorher ein ``Sei $x [mm] \in [/mm] V$ mit $||x|| = 1$'' fehlt. Hast du das weggelassen oder der Ersteller der Loesung?
> [mm]||T_{x_0}||[/mm] = [mm]sup_{||x||=1} |T_{x_0}x|[/mm] = [mm]sup_{||x||=1} || \ge ||[/mm]
> = [mm]||x_0||[/mm]
Nun, hier soll wohl $x = [mm] x_0$ [/mm] sein.
> Warum gilt die größergleich Beziehung? Ich kann die
> leider nicht einsehen.
Es gilt $|| [mm] \frac{x}{||x||} [/mm] || = 1$, womit ein spezieller Wert von [mm] $||$ [/mm] kleinergleich dem Supremum ueber alle diese Werte ist.
> Damit haben wir gezeigt: [mm]||T_{x_0}||[/mm] = [mm]||x_0||[/mm]
>
> Warum wurde durch die beiden Fälle [mm]||T_{x_0}|| \ge[/mm] = [/red]
> [mm]||x_0||und |T_{x_0}|[/mm] = [mm]||x_0||[/mm] gezeigt, dass die Norm von
> [mm]T_{x_0}[/mm] gleich der Norm von [mm]x_0[/mm] ist? Ich verstehe nicht,
> warum man oben mit dem Betrag von [mm]T_{x_0}x[/mm] arbeitet
Das steht doch hier:
>
> Hintergrunddetaills:
> In unserer Vorlesung haben wir definiert
>
>
> Definition
>
> Sei T: X -> Y linear und stetig
>
> ||T|| := inf [mm]\{ M \ge 0 : ||Tx|| \le M||x|| \forall x \in X \}[/mm]
> heißt die Operatornorm von T
Genau. Das ist die Definition. Oben wird aber folgendes verwendet:
>
> Satz
> Sei T : X -> Y linear und stetig, dann gilt
>
> a) ||T|| = [mm]sup_{x \not= 0} \frac{||Tx||}{||x||}[/mm] =
> [mm]sup_{||x|| = 1}[/mm] ||Tx|| = [mm]sup_{||x|| \le 1}[/mm]
Genau diese Aussage brauchst du oben. Du schaetzt einmal den Ausdruck [mm] $||T_{x_0} [/mm] x||$ fuer $||x|| = 1$ nach oben ab durch [mm] $||x_0||$, [/mm] und dann zeigst du dass der Ausdruck den Wert auch annimmt indem du $x = [mm] \frac{x_0}{||x_0||}$ [/mm] einsetzt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 12.07.2009 | | Autor: | valaida |
Hallo felixf.
Vielen lieben Dank für deine super Erklärung.
Du hattest außerdem bei meinen Fehlern natürlich immer Recht! Ich habe die Lösung jetzt noch einmal überarbeitet und nachvollzogen.
Dankeschön
valaida
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