Operatornorm Matrizen konverge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 02.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo,
ich habe schon wieder Probleme mit einer Aufabe:
Zeigen Sie, dass die Konvergenz von Matrizen in der Operatornorm äquivalent ist zur Konvergenz aller entsprechenden Matrixelemente in K.
Kann mir einer erklären, was damit gemeint ist? Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht, und weiß auch gar nicht was ich da machen soll...
Operatornorm wurde bei uns so definiert:
||A||: = [mm] sup_{||x||\le 1} ||Ax||=sup_{||x||=1} [/mm] ||Ax||= sup [mm] \bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] heißt Operatornorm von A.
Aber wie soll ich das damit einbringen? Ich bin total ratlos....
Für Tipps, Ideen, irgendwelche nützlichen Buchvorschläge wäre ich euch echt dankbar.
MFG
Andrea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Weisst du wie in einem normierten Raum [mm](V, \| \cdot \|)[/mm] Konvergenz definiert ist?
Hier in dieser Aufgabe hast du den Vektorraum aller Matrizen zusammen mit der Operatornorm. Somit hast du einen Konvergenzbegriff für Matrizen mit Hilfe dieser Norm.
Es gibt aber auch noch einen anderen Konvergenzbegriff, nämlich die Konvergenz jedes einzelnen Matrizeintrags (einfach Konvergenz von Folgen).
Nun sollst du zeigen, das diese beiden Begriffe äquivalent sind.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Sa 03.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Weisst du wie in einem normierten Raum [mm](V, \| \cdot \|)[/mm]
> Konvergenz definiert ist?
Also in der Vorlesung haben wir das nicht direkt definiert. Wir haben gesagt, dass jeder normierte Raum bzgl. d(x,y):=||x-y|| ein metrischer Raum ist, und somit dafür alle Resultate von metrischen Räumen darauf anwenden können...
D.h. ich nehme die Definition vom metrischen Raum und ändere sie ab...Eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] konvergiert genau dann gegen x [mm] \in [/mm] X, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0}(\varepsilon) \in \IN [/mm] existiert, so dass [mm] ||x_{n}-x||<\varepsilon, \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}(\varepsilon)
[/mm]
> Hier in dieser Aufgabe hast du den Vektorraum aller
> Matrizen zusammen mit der Operatornorm. Somit hast du einen
> Konvergenzbegriff für Matrizen mit Hilfe dieser Norm.
Und wie sieht der aus?
> Es gibt aber auch noch einen anderen Konvergenzbegriff,
> nämlich die Konvergenz jedes einzelnen Matrizeintrags
> (einfach Konvergenz von Folgen).
[mm] (a_{n}) [/mm] nach oben beschränkt + monton wachsend bzw. nach unten beschränkt + monoton fallend [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent
aber ich glaube du meinst, eher diese Definition:
eine Zahlenfolge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert genau dann gegen a [mm] \in \IC, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0}(\varepsilon) \in \IN [/mm] existiert, so dass [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon, \forall [/mm] n [mm] >n_{0}(\varepsilon) [/mm] gilt.
> Nun sollst du zeigen, das diese beiden Begriffe äquivalent
> sind.
aber irgendwie bin ich mir da noch immer nicht schlüssig.
>
> LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Du hast eine Folge von Matrizen [mm]A_n := (a_{ij}^n)_{ij}[/mm].
Konvergenz Nr. 1: [mm] A_n [/mm] konvergiert bzgl. der Operatornorm [mm] \|\cdot\|, [/mm] d.h. [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N_0\in \IN[/mm], so dass [mm]\|A_n - A\| < \epsilon[/mm], für alle [mm]n > N_0[/mm].
Konvergenz Nr. 2: Für fixe i und j bilden die [mm] (a_{ij}^n) [/mm] eine Zahlenfolge. Wir sagen jetzt einfach das [mm] A_n [/mm] gegen A konvergiert, wenn für alle i,j diese Folgen konvergieren. Anschaulich heisst das einfach, das jeder einzelne Matrixeintrag in der Folge [mm] (A_n) [/mm] einzeln konvergiert.
Deine Aufgabe ist es nun zu zeigen, das diese beiden Konvergenzbegriffe zusammenfallen, d.h. konvergiert eine Folge von Matrizen [mm] (A_n) [/mm] bzgl. dem einen Begriff, so auch bzgl. dem anderen.
LG, Alex
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