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Operatornorm - Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Mi 11.01.2012
Autor: waruna

Aufgabe
Im Beweis des Satzes von gleimäßigen Beschränkheit in meinem Skript  hat man folgende Aussage gemacht:
Seien T [mm] \in [/mm] L(X,Y), x [mm] \in [/mm] X, r>0. Dann:
[mm] r||T||\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r)
Mit einem Beweis:
Für [mm] a\in [/mm] X, ||a||<r:
[mm] ||T(a)||\le 1/2(||T(x+a)||+||T(x-a)||)\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r)

Im Beweis sind für mich alle Schlüßfolgerungen klar, ich verstehe nur nicht warum sie die erste Ungleichung beweisen sollen:
[mm] r||T||\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r)
?
Es läßt sich schreiben:
[mm] ||T(a)||\le||a||||T||\le [/mm] r||T||
also Aussage, dass ||T(a)|| ist kleiner als etwas zeigt überhaupt nicht, dass r||T|| auch kleiner ist.
Ich habe folgende Frage nirgendwo anders gestellt.
Vielen Dank für eine Hilfe:) !


        
Bezug
Operatornorm - Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Do 12.01.2012
Autor: fred97


> Im Beweis des Satzes von gleimäßigen Beschränkheit in
> meinem Skript  hat man folgende Aussage gemacht:
>  Seien T [mm]\in[/mm] L(X,Y), x [mm]\in[/mm] X, r>0. Dann:
>  [mm]r||T||\le[/mm] sup||T(y)||, mit [mm]y\in[/mm] B(x,r)
>  Mit einem Beweis:
>  Für [mm]a\in[/mm] X, ||a||<r:
>  [mm]||T(a)||\le 1/2(||T(x+a)||+||T(x-a)||)\le[/mm] sup||T(y)||, mit
> [mm]y\in[/mm] B(x,r)
>  Im Beweis sind für mich alle Schlüßfolgerungen klar,
> ich verstehe nur nicht warum sie die erste Ungleichung
> beweisen sollen:
>  [mm]r||T||\le[/mm] sup||T(y)||, mit [mm]y\in[/mm] B(x,r)
>  ?
>  Es läßt sich schreiben:
>  [mm]||T(a)||\le||a||||T||\le[/mm] r||T||
>  also Aussage, dass ||T(a)|| ist kleiner als etwas zeigt
> überhaupt nicht, dass r||T|| auch kleiner ist.
>  Ich habe folgende Frage nirgendwo anders gestellt.
>  Vielen Dank für eine Hilfe:) !
>  


Sei $s:= sup [mm] \{||Ty||: y \in B(x,r)\}$ [/mm]

Die letzte Ungl. lautet also:

         $||Ta|| [mm] \le [/mm] s$ für alle a [mm] \in [/mm] X mit ||a||<r

Es folgt:

    (*)     $||Ta|| [mm] \le [/mm] s$ für alle a [mm] \in [/mm] X mit ||a|| [mm] \le [/mm] r

Sei nun b [mm] \in [/mm] X und ||b||=1. Setze a:=rb. Aus (*) folgt:

             $r||Tb||=||T(rb)||=||Ta|| [mm] \le [/mm] s$

Gehe nun links zum Supremum über alle normierten b über und Du bekommst:

              $r||T|| [mm] \le [/mm] s$

FRED

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