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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 09.05.2013 | | Autor: | link963 |
| Aufgabe | Sei $ A = [mm] (a_{ij})_{ij=1}^N [/mm] $, [mm] a_{ij} \in \IC [/mm] und $ [mm] T_{A}(x) [/mm] := Ax $ für $x [mm] \in \IC^N$ [/mm] versehen mit dem Standardskalarprodukt. Zeige
$ [mm] \parallel T_A \parallel \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{N}|a_{ij}|^2} [/mm] $. |
Hallo Mathefreunde,
ich berechne dazu:
$ [mm] \parallel T_A(x) \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel (\summe_{j=1}^{N}a_{1j}x_j, [/mm] ..., [mm] \summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j) \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{N}(\summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j)^2} [/mm] $
Hat jemand einen Tipp, wie ich hier weitermachen kann?
Lieben Gruß
link963
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A = (a_{ij})_{ij=1}^N [/mm], [mm]a_{ij} \in \IC[/mm] und [mm]T_{A}(x) := Ax[/mm]
> für [mm]x \in \IC^N[/mm] versehen mit dem Standardskalarprodukt.
> Zeige
>
> [mm]\parallel T_A \parallel \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{N}|a_{ij}|^2} [/mm].
>
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich berechne dazu:
>
> [mm]\parallel T_A(x) \parallel = \parallel Ax \parallel = \parallel (\summe_{j=1}^{N}a_{1j}x_j, ..., \summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j) \parallel = \wurzel{\summe_{i=1}^{N}(\summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j)^2}[/mm]
Das stimmt nicht ganz ! Wir sind in [mm] \IC, [/mm] also
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{N}|\summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j|^2}[/mm]
[/mm]
>
> Hat jemand einen Tipp, wie ich hier weitermachen kann?
Mit [mm] ||*||_2 [/mm] bezeichne ich die eukl. Norm auf [mm] \IR^N. [/mm] Für i=1,...,N ist nach der Cauchy- Schwarzschen Ungl.:
[mm] $|\summe_{j=1}^{N}a_{ij}x_j|^2 \le ||(a_{i1}, [/mm] ..., [mm] a_{iN})||^2*||x||^2.$
[/mm]
Damit solltest Du hinkommen.
FRED
>
> Lieben Gruß
> link963
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Do 09.05.2013 | | Autor: | link963 |
Ah stimmt. Danke.
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