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| Aufgabe | Betragsnorm sei gegeben durch
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}:= \summe_{i=1}^{m} |x_{i}|
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann die zugehörige Operatornorm gegeben ist durch
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{k} \summe_{j=1}^{m} |a_{jk}|
[/mm]
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Hi Leute,
hab diese Aufgabe zu lösen. Ich kenne die Definition von der Operatornorm:
$ [mm] \Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,2}:= \sup\limits_{x \in \IR^n \setminus \{0\}} \frac{\Vert Ax \Vert_2}{\Vert x \Vert_1} [/mm] = [mm] \max\limits_{\Vert x \Vert_1=1} \Vert [/mm] Ax [mm] \Vert_2 [/mm] $
und dann ist der Beweis ja eigentlich nur noch einsetzen und umformen. Ich komm aber nicht auf das Ergebniss! Was ist aber denn dann bei mir 1,2??
Wie bekomme ich die Summe mit dem maximum bzw supremum so verknüpft??
Liebe Grüße
Jaqueline
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Guten Tach
Also du willst zeigen das [mm] ||A||_{1} [/mm] = [mm] \max_{k} \summe_{j=1}^{n} |a_{j,k}| [/mm]
Also wie ist die Einsnorm definiert. Doch als [mm] ||A||_{1} [/mm] = [mm] sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||_{1}}{||x||_{1}}. [/mm] Jetzt fang mal an mit
[mm] ||Ax||_{1}= [/mm] ........
Du bekommst dann raus, dass [mm] \bruch{||Ax||_{1}}{||x||_{1}} \le max_{k}\summe_{j=1}^{n} |a_{j,k}| [/mm] Also ist die Summe ein Sup Von [mm] \bruch{||Ax||_{1}}{||x||_{1}}. [/mm] Jetzt brauchst du nur noch einen Vektor für den das Sup angenommen wird(Stichwort einheitsvektor) dann wird aus dem supremum ein maximum.
Einen schönen Tach noch
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Hi
Danke schon mal für deine Hilfe. Hab das aber nicht so wirklich verstanden, vor allem was du bei dem ..... nach dem [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{1} [/mm] gemeint hast??
Kannst du mir da vielleicht noch mal weiterhelfen??
LG
Jacky
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Guten Tach
na schreib dir mal aus was Ax is t
[mm] ||Ax||_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|\summe_{j=1}^{n} a_{ij}*x_{j}|_{i} \le \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|*|x_{j}|\le \summe_{i=1}^{n} \max_{j} |a_{ij}|*\summe_{j=1}^{n}|x_{j}| [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \max_{j} |a_{ij}|*||x||_{1} [/mm]
Versuch das mal nachzuvollziehen dann noch einen Vektor suchen für den Gleichheit gilt dann haste das. Einen schönen Tach noch
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