Operatoren mit endlichem Bild < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
ich habe in einem Buch gelesen, dass lineaere Operatoren zwischen banachräumen mit endlichem rang stets kompakt sind.
Ich konnte das für stetige lineare Operatoren zeigen. Für nicht stetige, schaffe ich das irgendwie nicht.
Oder meint der Autor hier nur stetige Abbildungen? (Es steht da nur L(X,Y))
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 02.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe in einem Buch gelesen, dass lineaere Operatoren
> zwischen banachräumen mit endlichem rang stets kompakt
> sind.
>
> Ich konnte das für stetige lineare Operatoren zeigen. Für
> nicht stetige, schaffe ich das irgendwie nicht.
Kein Wunder, denn kompakte Operatoren sind stetig !
> Oder meint der Autor hier nur stetige Abbildungen? (Es
> steht da nur L(X,Y))
So wird es sein.
FRED
>
> Viele Grüsse
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Vielen Dank für deine Antwort. Mir ist schon klar, dass kompakte Operatoren auch stetig sind. Aber diese Information alleine reicht doch nicht.
Aber deinem Urteil vertraue ich;).
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Sa 02.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort. Mir ist schon klar, dass
> kompakte Operatoren auch stetig sind. Aber diese
> Information alleine reicht doch nicht.
???
Seien X und Y Banachräume und T:X [mm] \to [/mm] Y linear.
Es gilt:
1. Ist T kompakt, so ist T stetig.
2. Ist T stetig und endlichdimensional, so ist T kompakt.
Ist aber T endlichdimensional und nicht stetig (sowas gibt es !), so kann T , wegen 1. , nicht kompakt sein.
> Aber deinem Urteil vertraue ich;).
Das ist aber sehr nett von Dir.....
FRED
>
> Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Ja, deine Aussage ist richtig. Falls T nicht stetig ist, so ist T auch nicht kompakt.
Die Frage war ja aber folgende:
T endlich => T kompakt?
Das ist nicht dasselbe wie:
T endlich und T stetig => T kompakt.
Mit anderen Worten. Folgt aus "T endlich" allein die kompaktheit (und somit auch die stetigkeit).
Ich denke, dass dies rein gedanklich erstmal sein könnte. Aber in Wirklichkeit einffach nicht stimmt. (also aus endlich => stetigkeit).
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Sa 02.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, deine Aussage ist richtig. Falls T nicht stetig ist, so
> ist T auch nicht kompakt.
>
> Die Frage war ja aber folgende:
>
> T endlich => T kompakt?
Das ist mir von Anfang an klar gewesen ! Es hilft nichts: obige Implikation ist i.a. falsch.
>
> Das ist nicht dasselbe wie:
>
> T endlich und T stetig => T kompakt.
>
> Mit anderen Worten. Folgt aus "T endlich" allein die
> kompaktheit (und somit auch die stetigkeit).
Nein.
>
> Ich denke, dass dies rein gedanklich erstmal sein könnte.
> Aber in Wirklichkeit einffach nicht stimmt.
Hab ich doch schon mehrfach gesagt !
FRED
> (also aus
> endlich => stetigkeit).
>
> Liebe Grüsse
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