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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 08.07.2014 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | G eine Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe.
Beweise: Die Linksmultiplikation von G auf G/H definiert eine Operation.
(1) Ist die Operation transitiv?
(2) Gibt es Fixpunkte?
(3) Welche sind die Standgruppen? |
Hallo zusammen!
Die Aufgabe bereitet mir ein wenig Schwierigkeiten und es wäre super, wenn mir jemand dabei etwas helfen könnte.
Ich konnte zeigen, dass
G x G/H [mm] \to [/mm] G/H
(g,m) [mm] \mapsto [/mm] gm
eine Operation definiert, aber ich weiß nicht so recht, wie ich die Bahnen, Standgruppen und Fixpunkte bestimmen soll,
um die Fragen (1) - (3) beantworten zu können.
zu (1):
Ich weiß, dass die Operation transitiv ist, wenn es nur eine Bahn gibt.
Deshalb würde ich gerne zeigen, dass es nur eine Bahn in G/H gibt.
Die Bahn eines Elementes m [mm] \in [/mm] G/H ist Gm = {gm [mm] \in [/mm] G/H | g [mm] \in [/mm] G },
d.h. in der Bahn sind diejenigen Elemente m' [mm] \in [/mm] G/H, die durch das Anwenden von einem g [mm] \in [/mm] G erreicht werden können.
Habe ich das soweit richtig verstanden ?
Dazu hatte ich mir überlegt:
Seien m [mm] \in [/mm] G/H mit m = aH, a [mm] \in [/mm] G und
m' [mm] \in [/mm] G/H mit m' = bH, b [mm] \in [/mm] G.
[mm] \Rightarrow [/mm] gm= m' [mm] \gdw [/mm] g(aH) = bH [mm] \gdw b^{-1}gaH [/mm] = H [mm] \gdw b^{-1}ga \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] m = m' , d.h. es gibt nur eine Bahn, woraus folgt, dass die Operation transitiv ist.
Kann ich das so machen? Oder gibt es noch andere Möglichkeiten zu zeigen, dass es nur eine Bahn gibt?
zu (2):
Die Definition der Standgruppe von m [mm] \in [/mm] G/H ist ja: [mm] G_{m} [/mm] = {g [mm] \in [/mm] G | gm = m }, d.h. es muss gelten: gm =m für alle g [mm] \in [/mm] G.
Um die Fixpunkte zu bestimmen, muss ich ja wissen, für welches m [mm] \im [/mm] G/H die Standgruppe [mm] G_{m} [/mm] = G gilt, oder?
Ich hatte mir überlegt, dass die Gleichung ja nur für g=e gilt, d.h. [mm] G_{m} [/mm] = {e}.
Das würde ja bedeuten, dass die Gruppe nur dann einen Fixpunkt besitzt, wenn G = {e} ist ,oder?
Andernfalls gibt es keinen Fixpunkt.
zu (3):
Also bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher.
Dazu hatte ich mir überlegt, für ein beliebiges m [mm] \in [/mm] G/H, [mm] m\not= \overline{0} [/mm] ist die Standgruppe [mm] G_{m} [/mm] ={e}.
Wenn allerdings m [mm] =\overline{0} [/mm] ist, dann ist doch [mm] G_{\overline{0}}= [/mm] G , oder?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Voraus schon mal.
Biensche
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 08.07.2014 | | Autor: | hippias |
> G eine Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G eine Untergruppe.
>
> Beweise: Die Linksmultiplikation von G auf G/H definiert
> eine Operation.
>
> (1) Ist die Operation transitiv?
> (2) Gibt es Fixpunkte?
> (3) Welche sind die Standgruppen?
> Hallo zusammen!
>
> Die Aufgabe bereitet mir ein wenig Schwierigkeiten und es
> wäre super, wenn mir jemand dabei etwas helfen könnte.
>
> Ich konnte zeigen, dass
>
> G x G/H [mm]\to[/mm] G/H
> (g,m) [mm]\mapsto[/mm] gm
>
> eine Operation definiert,
richtig
> aber ich weiß nicht so recht,
> wie ich die Bahnen, Standgruppen und Fixpunkte bestimmen
> soll,
> um die Fragen (1) - (3) beantworten zu können.
>
>
> zu (1):
> Ich weiß, dass die Operation transitiv ist, wenn es nur
> eine Bahn gibt.
> Deshalb würde ich gerne zeigen, dass es nur eine Bahn in
> G/H gibt.
Richtig.
>
> Die Bahn eines Elementes m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G/H ist Gm = {gm [mm]\in[/mm] G/H | g
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G },
> d.h. in der Bahn sind diejenigen Elemente m' [mm]\in[/mm] G/H, die
> durch das Anwenden von einem g [mm]\in[/mm] G erreicht werden
> können.
> Habe ich das soweit richtig verstanden ?
Ja.
>
> Dazu hatte ich mir überlegt:
>
> Seien m [mm]\in[/mm] G/H mit m = aH, a [mm]\in[/mm] G und
> m' [mm]\in[/mm] G/H mit m' = bH, b [mm]\in[/mm] G.
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] gm= m' [mm]\gdw[/mm] g(aH) = bH [mm]\gdw b^{-1}gaH[/mm] = H [mm]\gdw b^{-1}ga \in[/mm]
> H [mm]\Rightarrow[/mm] m = m' , d.h. es gibt nur eine Bahn, woraus
> folgt, dass die Operation transitiv ist.
Nein. Du haettest damit gezeigt, dass die Bahn von $m$ nur $m$ enthaelt. Um die Transitivitaet zu zeigen, musst Du Dir ueberlegen, welches $g$ das $m$ auf $m'$ abbildet; also fuer welches $g$ ist $gaH= bH$. Das $g$ ist einfacher zu finden als Du vermutlich denkst. Tip: Wenn $ga= b$ gilt,gilt die Gleichung erst recht fuer die Restklassen.
>
> Kann ich das so machen? Oder gibt es noch andere
> Möglichkeiten zu zeigen, dass es nur eine Bahn gibt?
>
>
>
> zu (2):
>
> Die Definition der Standgruppe von m [mm]\in[/mm] G/H ist ja: [mm]G_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = {g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | gm = m }, d.h. es muss gelten: gm =m für
> alle g [mm]\in[/mm] G.
>
> Um die Fixpunkte zu bestimmen, muss ich ja wissen, für
> welches m [mm]\im[/mm] G/H die Standgruppe [mm]G_{m}[/mm] = G gilt, oder?
Richtig.
>
> Ich hatte mir überlegt, dass die Gleichung ja nur für g=e
> gilt, d.h. [mm]G_{m}[/mm] = {e}.
Das ergibt doch keinen Sinn: es muesste doch eine Bedingung an $m$ und nicht an $g$ geben, sodass $G= [mm] G_{m}$ [/mm] ist. Tip: Wenn $H<G$ ist, dann ist die Operation fixpunktfrei; wenn $H= G$ ist, besitzt sie trivialerweise einen Fixpunkt. Uebrigens: wenn Du weisst, dass $G$ transitiv ist und $m$ ein Fixpunkt ist, dann kannst Du das Problem ganz elegant loesen, indem Du die Bahn von $m$ betrachtest.
>
> Das würde ja bedeuten, dass die Gruppe nur dann einen
> Fixpunkt besitzt, wenn G = {e} ist ,oder?
> Andernfalls gibt es keinen Fixpunkt.
>
>
> zu (3):
>
> Also bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher.
> Dazu hatte ich mir überlegt, für ein beliebiges m [mm]\in[/mm]
> G/H, [mm]m\not= \overline{0}[/mm] ist die Standgruppe [mm]G_{m}[/mm] ={e}.
>
> Wenn allerdings m [mm]=\overline{0}[/mm] ist, dann ist doch
> [mm]G_{\overline{0}}=[/mm] G , oder?
Was soll denn ploetzlich [mm] $\overline{0}$ [/mm] sein? Nutze auch hier die Transitivitaet aus, denn die Standgruppen sind dann konjugiert zueinander. Daher genuegt es die Standgruppe von $H$ zu bestimmen - d.h. fuer welche [mm] $g\in [/mm] G$ gilt $gH= H$ - fuer alle anderen Standgruppen gilt [mm] $G_{aH}= (G_{H})^{a}$ [/mm] (das habt ihr bestimmt in der Vorlesung gelernt).
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> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Vielen Dank im Voraus schon mal.
> Biensche
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 08.07.2014 | | Autor: | Biensche |
> > G eine Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G eine Untergruppe.
> >
> > Beweise: Die Linksmultiplikation von G auf G/H definiert
> > eine Operation.
> >
> > (1) Ist die Operation transitiv?
> > (2) Gibt es Fixpunkte?
> > (3) Welche sind die Standgruppen?
> > Hallo zusammen!
> >
> > Die Aufgabe bereitet mir ein wenig Schwierigkeiten und es
> > wäre super, wenn mir jemand dabei etwas helfen könnte.
> >
> > Ich konnte zeigen, dass
> >
> > G x G/H [mm]\to[/mm] G/H
> > (g,m) [mm]\mapsto[/mm] gm
> >
> > eine Operation definiert,
> richtig
>
> > aber ich weiß nicht so recht,
> > wie ich die Bahnen, Standgruppen und Fixpunkte bestimmen
> > soll,
> > um die Fragen (1) - (3) beantworten zu können.
> >
> >
> > zu (1):
> > Ich weiß, dass die Operation transitiv ist, wenn es nur
> > eine Bahn gibt.
> > Deshalb würde ich gerne zeigen, dass es nur eine Bahn in
> > G/H gibt.
> Richtig.
> >
> > Die Bahn eines Elementes m [mm] \in [/mm] G/H ist Gm = {gm [mm] \in [/mm] G/H | g [mm] \in [/mm] G}, d.h. in der Bahn sind diejenigen Elemente m' [mm] \in [/mm] G/H,
> die durch das Anwenden von einem g [mm]\in[/mm] G erreicht werden können. Habe ich das soweit richtig verstanden ?
> Ja.
> >
> > Dazu hatte ich mir überlegt:
> >
> > Seien m [mm]\in[/mm] G/H mit m = aH, a [mm]\in[/mm] G und
> > m' [mm]\in[/mm] G/H mit m' = bH, b [mm]\in[/mm] G.
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] gm= m' [mm]\gdw[/mm] g(aH) = bH [mm]\gdw b^{-1}gaH[/mm] = H [mm]\gdw b^{-1}ga \in[/mm]
> > H [mm]\Rightarrow[/mm] m = m' , d.h. es gibt nur eine Bahn, woraus
> > folgt, dass die Operation transitiv ist.
> Nein. Du haettest damit gezeigt, dass die Bahn von [mm]m[/mm] nur [mm]m[/mm]
> enthaelt. Um die Transitivitaet zu zeigen, musst Du Dir
> ueberlegen, welches [mm]g[/mm] das [mm]m[/mm] auf [mm]m'[/mm] abbildet; also fuer
> welches [mm]g[/mm] ist [mm]gaH= bH[/mm]. Das [mm]g[/mm] ist einfacher zu finden als Du
> vermutlich denkst. Tip: Wenn [mm]ga= b[/mm] gilt,gilt die Gleichung
> erst recht fuer die Restklassen.
Wenn gelten soll:
gm= m' [mm] \gdw [/mm] gaH = bH, dann ist g= [mm] ba^{-1} [/mm] mit a,b [mm] \in [/mm] G, was an sich jedes Element aus G sein könnte, oder ?
Damit würde man ja immer ein g [mm] \in [/mm] G finden, das die Gleichung erfüllt. Das heißt ja, dass ich alle m' [mm] \in [/mm] G/H erreichen kann, was wiederum bedeutet, dass es nur eine Bahn gibt.
Stimmt diese Überlegung ?
> > zu (2):
> >
> > Die Definition der Standgruppe von m [mm] \in [/mm] G/H ist ja:
> [mm] G_{m} [/mm] = { g [mm] \in [/mm] G | gm = m }, d.h. es muss gelten: gm =m für alle g [mm]\in[/mm] G.
> >
> > Um die Fixpunkte zu bestimmen, muss ich ja wissen, für
> > welches m [mm]\im[/mm] G/H die Standgruppe [mm]G_{m}[/mm] = G gilt, oder?
> Richtig.
>
> >
> > Ich hatte mir überlegt, dass die Gleichung ja nur für g=e
> > gilt, d.h. [mm]G_{m}[/mm] = {e}.
> Das ergibt doch keinen Sinn: es muesste doch eine Bedingung
> an [mm]m[/mm] und nicht an [mm]g[/mm] geben, sodass [mm]G= G_{m}[/mm] ist. Tip: Wenn
> [mm]H
> ist, besitzt sie trivialerweise einen Fixpunkt. Uebrigens:
> wenn Du weisst, dass [mm]G[/mm] transitiv ist und [mm]m[/mm] ein Fixpunkt
> ist, dann kannst Du das Problem ganz elegant loesen, indem
> Du die Bahn von [mm]m[/mm] betrachtest.
Damit m= aH [mm] \in [/mm] G/H ein Fixpunkt ist, muss doch gelten: [mm] G_{m}= [/mm] {g [mm] \in [/mm] G | gm =m } = G.
Also: gm = G
[mm] \gdw [/mm] g(aH) = G
[mm] \gdw \underbrace{ga}_{ \in G}H [/mm] = G
Wenn H = G ist, dann stehen auf der linken Seite nur Elemente aus G und die Gleichung stimmt, d.h. es gibt einen Fixpunkt.
Wieso ist die Operation aber fixpunktfrei , wenn H [mm] \not= [/mm] G?
Irgendwie habe ich das (noch) nicht ganz verstanden.
> > Das würde ja bedeuten, dass die Gruppe nur dann einen
> > Fixpunkt besitzt, wenn G = {e} ist ,oder?
> > Andernfalls gibt es keinen Fixpunkt.
> >
> >
> > zu (3):
> >
> > Also bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher.
> > Dazu hatte ich mir überlegt, für ein beliebiges m [mm]\in[/mm]
> > G/H, [mm]m\not= \overline{0}[/mm] ist die Standgruppe [mm]G_{m}[/mm] ={e}.
> >
> > Wenn allerdings m [mm]=\overline{0}[/mm] ist, dann ist doch
> > [mm]G_{\overline{0}}=[/mm] G , oder?
> Was soll denn ploetzlich [mm]\overline{0}[/mm] sein? Nutze auch
> hier die Transitivitaet aus, denn die Standgruppen sind
> dann konjugiert zueinander. Daher genuegt es die
> Standgruppe von [mm]H[/mm] zu bestimmen - d.h. fuer welche [mm]g\in G[/mm]
> gilt [mm]gH= H[/mm] - fuer alle anderen Standgruppen gilt [mm]G_{aH}= (G_{H})^{a}[/mm]
> (das habt ihr bestimmt in der Vorlesung gelernt).
> >
Aus der Transitivität weiß ich, dass es nur eine Bahn gibt, d.h. dass ich alle m [mm] \in [/mm] G/H erreichen kann,wenn ich g [mm] \in [/mm] G auf es anwende.
Aber wieso genügt es die Standgruppe von H zu bestimmen?
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 08.07.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Wenn gelten soll:
> gm= m' [mm]\gdw[/mm] gaH = bH, dann ist g= [mm]ba^{-1}[/mm] mit a,b [mm]\in[/mm] G,
Diesen Satz...
> was an sich jedes Element aus G sein könnte, oder ?
...lasse weg. So...
> Damit würde man ja immer ein g [mm]\in[/mm] G finden, das die
> Gleichung erfüllt. Das heißt ja, dass ich alle m' [mm]\in[/mm] G/H
> erreichen kann, was wiederum bedeutet, dass es nur eine
> Bahn gibt.
...ist es richtig gesagt.
> Stimmt diese Überlegung ?
>
>
> Damit m= aH [mm]\in[/mm] G/H ein Fixpunkt ist, muss doch gelten:
> [mm]G_{m}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | gm =m } = G.
>
> Also: gm = G
Nein: Die Bedingung ist $gm=m$ fuer alle $g\in G$
> [mm]\gdw[/mm] g(aH) = G
> [mm]\gdw \underbrace{ga}_{ \in G}H[/mm] = G
>
> Wenn H = G ist, dann stehen auf der linken Seite nur
> Elemente aus G und die Gleichung stimmt, d.h. es gibt einen
> Fixpunkt.
> Wieso ist die Operation aber fixpunktfrei , wenn H [mm]\not=[/mm]
> G?
>
> Irgendwie habe ich das (noch) nicht ganz verstanden.
Das stimmt. 1. Weg (direkt ueber die Definition) Sei $m=aH$, [mm] $a\in [/mm] G$, ein Fixpunkt, also fuer alle $g$: $gaH= aH$. Dies ist aequivalent zu [mm] $a^{-1}ga\in [/mm] H$ fuer alle $g$ (soweit warst Du auch schon). Nun muesstest Du noch schlussfolgern, dass aus [mm] "$a^{-1}ga\in [/mm] H$ fuer alle $g$" folgt, dass $H= G$ ist. Betrachte [mm] $a^{-1}Ga$ [/mm] und argumentiere mit der Gruppenordnung.
2. Weg Sei $m$ ein Fixpunkt. Du weisst, dass $G$ transitiv ist. Damit ist einerseits [mm] $Gm=\ldots$, [/mm] andererseits ist [mm] $Gm=\ldots$. [/mm] Folglich enthaelt $G/H$ nur ein einziges Element, sodass $G=H$ folgt. Fuelle die Luecken aus.
>
>
> Aus der Transitivität weiß ich, dass es nur eine Bahn
> gibt, d.h. dass ich alle m [mm]\in[/mm] G/H erreichen kann,wenn ich
> g [mm]\in[/mm] G auf es anwende.
>
> Aber wieso genügt es die Standgruppe von H zu bestimmen?
Weil ich schaetze, dass Du folgendes Lemma kennst:
Die Gruppe operiere auf der Menge [mm] $\Omega$. [/mm] Sei [mm] $x\in \Omega$ [/mm] und [mm] $g\in [/mm] G$. Die Standgruppe von $y:= gx$ ist [mm] $G_{y}= (G_{x})^{g}$. [/mm] Ist $G$ insbesondere $G$ transitiv, dann sind alle Standgruppen konjugiert.
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> Danke für die Hilfe.
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