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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Fr 14.05.2010 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Riemannintegral [mm] \int_{0}^{b}e^x [/mm] mittels Ober- und Untersumme. |
Hallo,
ich könnte ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe gebrauchen!
Es gilt
Obersumme = [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n}(f(x_k) \cdot [/mm] h) und
Untersumme = [mm] \limes_{n \to \infty}\summe_{k=1}^{n-1}(f(x_k) \cdot [/mm] h)
h ist in diesem Fall [mm] \bruch{b}{n} [/mm] und [mm] x_k [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \bruch{kb}{n} [/mm] = [mm] 1+\bruch{kb}{n} [/mm] und somit [mm] f(x_k)=e^{1+\bruch{kb}{n}}
[/mm]
Also ist die Obersumme = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{b}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{1+\bruch{kb}{n}}
[/mm]
Hier komme ich nun nicht weiter! Wie bekomme ich denn nun den Grenzwert?
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Hallo,
> Berechnen Sie das Riemannintegral [mm]\int_{0}^{b}e^x[/mm] mittels
> Ober- und Untersumme.
> Hallo,
>
> ich könnte ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe gebrauchen!
> Es gilt
> Obersumme = [mm]\limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n}(f(x_k) \cdot[/mm]
> h) und
> Untersumme = [mm]\limes_{n \to \infty}\summe_{k=1}^{n-1}(f(x_k) \cdot[/mm]
> h)
Die Untersumme beginnt bei k = 0 !
> h ist in diesem Fall [mm]\bruch{b}{n}[/mm] und [mm]x_k[/mm] = [mm]x_0[/mm] +
> [mm]\bruch{kb}{n}[/mm] = [mm]1+\bruch{kb}{n}[/mm] und somit
> [mm]f(x_k)=e^{1+\bruch{kb}{n}}[/mm]
Nein! Es ist [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] \frac{k}{n}*b$. [/mm] Wie kommst du auf die "1", es wird doch von "0" losintegriert.
> Also ist die Obersumme = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{b}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{1+\bruch{kb}{n}}[/mm]
Beginnen wir mal mit der Untersumme, das ist etwas leichter (man muss keine Indexverschiebung machen):
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}e^{x_{k}}*h [/mm] = [mm] \frac{b}{n}*\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{k}{n}*b} [/mm] = [mm] \frac{b}{n}*\sum_{k=0}^{n-1}(e^{\frac{b}{n}})^{k}$
[/mm]
Nun die geometrische Reihe! Es ist dann:
$= [mm] \frac{b}{n}*\frac{1-e^{b}}{1-e^{\frac{b}{n}}}$.
[/mm]
Nun musst du noch den Grenzprozess [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{b}{n}}{1-e^{\frac{b}{n}}} [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0+}\frac{x}{1-e^{x}}$ [/mm] untersuchen (L'Hospital...)
Grüße,
Stefan
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