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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Oberfläche des Paraboloids
z = 2 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 2 |
Wir behandeln derzeit Oberflächenintegrale. Mit dieser Aufgabenstellung kann ich allerdings nichts anfangen. Meiner Meinung nach fehlen sogar Angaben. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Oberfläche des Paraboloids
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> z = 2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm]
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> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 2
> Wir behandeln derzeit Oberflächenintegrale. Mit dieser
> Aufgabenstellung kann ich allerdings nichts anfangen.
> Meiner Meinung nach fehlen sogar Angaben. Kann mir jemand
> helfen?
nein, da fehlen keine angaben. du hast eine flaeche gegeben als graph
[mm] $z=f(x,y)=2-x^2-y^2$,
[/mm]
also auch eine parametrisierung [mm] $X:\IR^2\supset U\to \IR^3$ [/mm] mit
[mm] $X(u,v)=\begin{pmatrix}{u\\v\\f(u,v)}\end{pmatrix}$.
[/mm]
je nachdem, wie ihr die flaechenintegrale (bzw. die flaechenelemente) in der VL definiert habt, kannst du nun problemlos die oberflaeche des paraboloids berechnen.
gruss
matthias
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Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort.
Nun stehe ich allerdings noch vor dem Problem, dass ich zum Berechnen ein Vektorfeld [mm] \vec{a} [/mm] benötige und dieses nach meiner Meinung nicht angegeben ist.
Bisher war immer ein Vektorfeld angegeben. Oder sehe ich das hier nicht?
Schöne Grüße,
Kerstin
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Du sollst ja auch gar kein Oberflächenintegral berechnen, sondern die Oberfläche eines Paraboloids. Sozusagen: Wie viele cm² hat die Fläche? Und das ist doch etwas völlig anderes.
Wegen [mm]x^2 + y^2 \leq 2[/mm] folgt [mm]z \in [0,2][/mm]. Denke dir nun ein solches [mm]z[/mm] fest gewählt. Löst man die Gleichung nach [mm]x^2 + y^2[/mm] auf, erhält man
[mm]x^2 + y^2 = 2-z[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das beschreibt auf der Höhe [mm]z[/mm] einen Kreis vom Radius [mm]r(z) = \sqrt{2-z}[/mm]. Das Paraboloid entsteht also, indem man in einem [mm]xz[/mm]-Koordinatensystem die Parabel mit der Gleichung [mm]x = \sqrt{2-z}[/mm], d.h [mm]z = 2 - x^2[/mm], für [mm]z \in [0,2][/mm] um die [mm]z[/mm]-Achse rotieren läßt. Die Parabel hat ihren Scheitel bei [mm](x,z) = (0,2)[/mm] und ist von der Form einer Normalparabel. Statt ihrer kann man auch in einem [mm]xy[/mm]-Koordinatensystem die Parabel mit der Gleichung
[mm]y = \sqrt{x}[/mm]
in den Grenzen von 0 bis 2 um die [mm]x[/mm]-Achse rotieren lassen. Das ist bequemer zu rechnen. Für solche Rotationskörper berechnet man die Mantelfläche [mm]M[/mm] bezüglich des Intervalls [mm][a,b][/mm] gemäß
[mm]M = 2 \pi \int_a^b~y \, \sqrt{1 + y'^2}~\mathrm{d}x[/mm]
Im konkreten Fall habe ich [mm]M = \frac{13}{3} \pi[/mm] erhalten. Das Integral läßt sich bequem lösen, wenn man alles unter eine Wurzel zieht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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