Oberflächenintegral bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 20.06.2006 | | Autor: | maxlein |
| Aufgabe | Gegeben sei die Fläche
F : z = 9 - [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 5,
die so orientiert ist, dass die z-Komponente des Normalenvektors positiv ist. Bestimmen
Sie für das Vektorfeld [mm] \vec{V} [/mm] = [mm] \pmat{ x + y \\ y - x \\ xz }
[/mm]
das Oberflächenintegral [mm] \integral\integral_{a}{\vec{V} d\vec{o}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Frage ist jetz, wie ich das am besten angehe! Hab mir gedacht ich verwende beim Vektorfeld Polarkoordinaten, nur dann weiß ich leider nicht weiter. Kann mir da jemand vielleicht helfen? Wäre sehr nett, denn ich sollte das bis Donnerstag können.
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Hallo max,
zunächst musst du das flächenelement der fläche berechnen, danach kommst du eventuell mit polarkoordinaten weiter.
Gruß
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 14.02.2007 | | Autor: | jaano |
Ein Jahr nach der Stellung dieser Frage möchte ich diesen Thread vervollständigen/beantworten:
1. Die Paramentrisierung der Fläche
Man forme um: [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9 - z$
Wobei wir $9 - z$als [mm] $r^2$ [/mm] definiern, dann kriegen wir nämlich ne Super Kreisgleichung in Abh. von [mm] $\varphi$ [/mm] und r.
Aus $0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 5$ sieht man die RB für r: $r [mm] \in [/mm] [2,3]$ während [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$
[/mm]
Wir parametrisieren nun auch noch x und y: $x = r [mm] \cos \varphi$ [/mm] und $y = r [mm] \sin \varphi$
[/mm]
Somit können wir unsere Fläche umschreiben in
[mm] $A(r,\varphi) [/mm] = [mm] \vektor{ r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ 9 - r^2}$
[/mm]
2. Finden des Oberflächenelements
Es existieren zwei mögliche Oberflächenelemente(Jakobideterminante), von denen aber wie wir im folgenden zeigen werden nur eins in die positive z-Richtung zeigt:
[mm] $\Phi_r \times \Phi_{\varphi}$ [/mm] und [mm] $\Phi_{\varphi} \times \Phi_r$
[/mm]
Wir brauchen nur die z-Komponente zu betrachten und sehen leicht, dass das eine r und das andre -r ergibt, wir entscheiden uns also für [mm] $\Phi_r \times \Phi_{\varphi}$, [/mm] das wäre:
[mm] $\vektor{\cos \varphi \\ \sin \varphi \\ - 2r}\times \vektor{-r\sin \varphi \\ r \cos \varphi \\ 0} [/mm] = r * [mm] \vektor{2r\cos \varphi \\ 2r \sin \varphi \\ 1}$
[/mm]
Unser vollständiges Oberflächenelement [mm] $d\vec{A}$ [/mm] lautet somit $r * [mm] \vektor{2r\cos \varphi \\ 2r \sin \varphi \\ 1}*drd\varphi$.
[/mm]
Soweit sogut, nun zur "Arbeit"
3. Ausrechnen des Integrals
Ich überlasse dies euch, im Grunde braucht ihr bloss das Vektorfeld umzuschreiben, wobei x,y und z ja bekannt sind, siehe [mm] $\Phi(r,\varphi)$, [/mm] diesen muss man skalarmultiplizieren mit unserem Oberflächenelement und danach integrieren.
Die Integralgrenzen sind unter Punkt 1 die Randbedingungen von r und [mm] $\varphi$
[/mm]
Bei mir haben sich alle [mm] $\varphi$-abhängigen [/mm] Terme rausgestrichen, aber ich bin ein unmöglicher Rechner, gut möglich, dass mein Endergebnis falsch ist.
Das vollständige Integral sollte so aussehen:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi}\integral_{2}^{3}{\vektor{r(\cos \varphi + \sin \varphi)\\ r(\sin \varphi - \cos \varphi) \\ r(9 - r^2)} \vektor{2r^2\cos \varphi \\ 2r^2 \sin \varphi \\ r}drd\varphi}$
[/mm]
Da mir dieser Thread hier bei google das zweite Ergebis nach "wiki Oberflächenintegral" geliefert hat, dachte ich mir, hier streuen sicher auch sonst noch Leute rein, die damit Schwierigkeiten haben, also vervollständige ich den Thread obwohl er bereits ein Jahr alt ist.
Um ganz ehrlich zu sein, war das nur ein bisschen Brainjogging spasseshalber, aber vielleicht hilfts ja jemandem!
Mit freundlichem Gruss
Patrick
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