Oberflächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Sa 13.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe 1 | [mm] B_R=(x,y,z)\in R^3 [/mm] sei eine abgeschlossene kugel mit radius R und N=N(x,y,z) der normalenvekotr auf [mm] dB_R [/mm] und sei [mm] H(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)
[/mm]
Wie verhält sich das Oberflächenintegral
[mm] I_R= \integral_{}{dB_R} [/mm] H*N [mm] d\ro
[/mm]
für [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | falscher knopf sry |
ich bin sehr verwirrt.
ist das Integral nicht der Weg auf dem Rand also ein geschlossenes Kurvenintegral oder so was?
da habe ich noch nie ein N drin stehen gesehen wenn dann nur Hdx.
jedenfalls habe ich gedacht das ist was mit satz von stokes.
da würde ich das N verstehen.
rotH ergibt sich aber zu Null. ich weiß ein geschlossenes kurvenintegral durch ein konservatives vektorfeld ist null.
kann mir jemand helfen? dankeschön!
ps mir ist grad was aufgefallen was da steht ist ja schon das oberflächenintegral, ich sollte also vll mit dem satz von gauss arbeiten.
ich gucke mir also mal die divergenz von H an.
divH= 2x+2y+2z
wegen der Kugel benutze ich die funktionaldeterminante [mm] r^2sin\theta
[/mm]
[mm] \integral_{V}^{}{2r^3sin\theta(sin\theta cos\phi +sin\theta cos\phi+cos\theta) dr d\theta d\phi} [/mm]
[mm] =\integral_{V}^{}{0.5R^43sin\theta(sin\theta cos\phi +sin\theta cos\phi+cos\theta) dr d\theta d\phi}
[/mm]
:/ ich bin auf dem holzweg oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 So 14.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]B_R=(x,y,z)\in R^3[/mm] sei eine abgeschlossene kugel mit radius
> R und N=N(x,y,z) der normalenvekotr auf [mm]dB_R[/mm] und sei
> [mm]H(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)[/mm]
>
> Wie verhält sich das Oberflächenintegral
> [mm]I_R= \integral_{}{dB_R}[/mm] H*N [mm]d\ro[/mm]
>
> für [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}[/mm]
Soll H*N das Skalarprodukt sein?
Falls ja, dann würde ich sagen, daß das Integral 0 ist.
Zu jedem $p=(x,y,z)$ gilt $N(-p)=-N(p)$ (wir sind auf der Gegenseite der Kugel) und $H(-p)=H(p)$ (aber H ist unabh. davon, in welchem Quadranten wir sind).
Damit ist auch $H(-p)*N(-p)=-H(p)N(p)$, d.h. für jeden Funktionswert integrieren wir auch über sein Negatives (hochtrabender könnte man sagen, H*N ist total antisymmetrisch zum Ursprung). Also ist das Integral 0.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 15.03.2010 | | Autor: | domerich |
ok ich verstehe nur bahnhof.
gegen ist ein Oberflächenintegral.
so R ist der radius der kugel. wenn der unendlich groß dann wird doch auch die oberfläche unendlich groß?
wie du auf null kommst ist mir leider schleierhaft. kannst du es bitte für einen nichtmathematiker erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Blech |
Wenn Du zuerst auf meine Frage antworten würdest, und uns mitteiltest, was Du überhaupt integriert haben willst, dann wäre eine Antwort nicht unwesentlich leichter.
[mm] $\int dB_R\ H\* [/mm] N$
ist für mich ein Integral des Skalarproduktes von H und N über die Kugeloberfläche.
Falls es das ist, dann siehe meine letzte Antwort. Der Wert von H*N an Punkt -p ist genau das Negative des Wertes an Punkt p, also ist das Integral 0. Die Größe der Oberfläche hat doch nix mit dem Wert des Integrals zu tun.
[mm] $\int_{\IR} [/mm] x\ dx$ ist ein Integral über ein Intervall unendlicher Länge, aber trotzdem 0.
Falls H*N was anderes sein soll, oder das hinter dem Integral hängende d eine Bedeutung hat, oder [mm] $dB_R$ [/mm] nicht die Oberfläche ist, oder der Limes nicht von [mm] $I_R$ [/mm] sein soll, dann könntest Du das schreiben. Ehrlich, ich kann nur raten, was Du eigentlich willst, ich kann nicht hellsehen.
ciao
Stefan
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