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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kegelflaeche:
K = {(x, y, z) ∈ [mm] \IR^3 [/mm] | z = 1 − [mm] \wurzel{x^2 + y^2}, x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ≤ 1}
Skizzieren Sie die Flaeche K und berechnen Sie ihren Flaecheninhalt. |
Hallo alle zusammen,
ich habe hier ein kleines Verständnisproblem bei diesem Beispiel. Hier schreibe ich mal kurz die Lösung hin:
Es ergibt sich eine Kegelflaeche mit dem Einheitskreis als Grundflaeche
und der Spitze im Punkt (0,0,1). Als Parametrisierung sind Zylinderkoordinaten
geeignet:
[mm] \vec{F}=\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{r*cos(\nu) \\ r*sin(\nu) \\ 1- r}
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] \bruch{\partial\vec{F}}{\partial r}=\vektor{cos(\nu) \\ sin(\nu) \\ -1}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial\vec{F}}{\partial\nu}=\vektor{-r*sin(\nu) \\ r*cos(\nu) \\ 0}
[/mm]
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So meine Frage ist nun, warum man [mm] \bruch{\partial\vec{F}}{\partial r} [/mm] ausrechnet? Ich dachte, man wählt die vektoren so, dass das Kreuzprodukt senkrecht zur Fläche steht??? Ist in diesem Fall nicht r bereits senkrecht zur Fläche???
Wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Hier ist noch der Rest der Aufgabe, aber der ist klar.
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[mm] dO=|\bruch{\partial\vec{F}}{\partial r}\times\bruch{\partial\vec{F}}{\partial\nu}|drd\nu=\wurzel{r^2*cos^2(\nu)+r^2*sin^2(\nu)+r^2}drd\nu
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}rdrd\nu
[/mm]
Für den Flächeninhalt K gilt also:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{K}^{}{dO}}=\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2*\pi}{\wurzel{2}rdrd\nu}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}\pi
[/mm]
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein r ist doch parallel zur x-y Ebene, der kegelmantel dazu schräg!
(genauer 45°)
Deine Rechnung ist richtig.
Gruss leduart
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