Obere Schranke von bin. Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde nicht-triviale obere Schranke für die folgende Summe:
[mm] \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{-\frac{m}{2^k} } [/mm] |
Die triviale Schranke ist:
[mm] 2^n e^{-\frac{m}{2^n}} [/mm]
die ist aber zu grob.
Eine andere Möglichkeit ist e durch Taylorreihe zu ersetzen:
[mm] \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{-\frac{m}{2^k} } =\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-m)^i}{i!} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \left(\frac{1}{2^i}\right)^k [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-m)^i}{i!} \left(1+\frac{1}{2^i}\right)^n [/mm] = ...
Jetzt aber weiß ich nicht weiter. Ich brauche Eure Hilfe.
Ben
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Finde nicht-triviale obere Schranke für die folgende
> Summe:
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{-\frac{m}{2^k} }[/mm]
>
> Die triviale Schranke ist:
was ist denn DIE triviale Schranke? Das ist, wenn überhaupt, eine triviale Schranke - und zudem: Beweis? (Nebenher gefragt: bist Du schon Dipl.-Math., wie es laut Deinem Profil ist, oder studierst Du Mathe?)
Aber ich denke, ich sehe, was Du gemacht hast: [mm] $2^n=(1+1)^n$ [/mm] mit der allg. Summenformel umgeschrieben und Monotonie von [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] ausgenutzt.
> [mm]2^n e^{-\frac{m}{2^n}}[/mm]
> die ist aber zu grob.
Bzgl. was zu grob?
> Eine andere Möglichkeit ist e durch Taylorreihe zu
> ersetzen:
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{-\frac{m}{2^k} } =\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-m)^i}{i!} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \left(\frac{1}{2^i}\right)^k[/mm]
> = [mm]\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-m)^i}{i!} \left(1+\frac{1}{2^i}\right)^n[/mm]
> = ...
Da stellt sich direkt die Frage, wieso Du nach dem ersten [mm] $=\,$ [/mm] die "Reihe bzgl. [mm] $e\,$ [/mm] rausziehen darfst"?
> Jetzt aber weiß ich nicht weiter. Ich brauche Eure Hilfe.
Nehmen wir mal an, Du darfst das alles (ich habe mir dazu keinerlei Gedanken gemacht):
[mm] $$\le \sum_{k=0}^\infty \frac{m^k}{k!}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n=e^m*2^n\,.$$
[/mm]
Das ist Dir dann aber erst recht zu grob.
Wozu brauchst Du denn die Abschätzung, bzw. "wie fein" soll sie denn mindestens werden?
Gruß,
Marcel
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