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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - ONB berechnen
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ONB berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:30 So 04.01.2009
Autor: nina1

Aufgabe
Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm] \IR_{1}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt [mm] =\integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx} [/mm] und die Basis [mm] {p_{1}(x), p_{2}(x)}. [/mm]

Sei [mm] p_{1}(x)=1 [/mm] und [mm] p_{2}(-x) [/mm] .
Berechnen Sie die ONB: [mm] {q_{1}(x), q_{2}(x)}. [/mm]

Hallo,

ich habe die Werte für [mm] q_{1}(x)=1 [/mm] und [mm] q_{2}(x)=-x*\wurzel{3} [/mm]
Jedoch sind die Ergebnisse nicht richtig und ich weiß nicht wo der Fehler in meiner Rechnung liegt:

1.) [mm] q_{1}(x)=\bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}(x)||} [/mm]
=> für [mm] ||p_{1}(x)|| [/mm] = 1  => [mm] q_{1}(x)=1 [/mm]

2.) [mm] p_{2}(x)-*q_{1}(x) [/mm]
[mm] I_{2}(x)=-x-<-x-1>*1 [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}*1 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}*x [/mm]

3.) [mm] q_{2}(x)=\bruch{I_{2}(x)}{||I_{2}(x)||} [/mm]
[mm] ||I_{2}(x)||^2=\integral_{0}^{1}{-(\bruch{1}{2}*x)^2 dx}= \bruch{1}{12} [/mm]

=> [mm] q_{2}(x)=-x*\wurzel(3) [/mm]

Kann mir jemand vielleicht sagen wo der Fehler liegt und was als Ergebnis dann rauskommen müsste?

Vielen Dank schonmal im Voraus und Grüße

Nina

        
Bezug
ONB berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 So 04.01.2009
Autor: nina1

Hab den Fehler schon gefunden...

Bezug
        
Bezug
ONB berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 So 04.01.2009
Autor: aliaszero

Ich hab den Fehler leider nicht gefunden. Kann mir das bitte jemand erklären?
Wenn ich 2. berechne kommt bei  l2=0 heraus und damit komme ich nicht weiter.
LG

Bezug
                
Bezug
ONB berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 So 04.01.2009
Autor: nina1

Hallo,

ich hatte einen Fehler bei der Berechnung von [mm] I_{2}(x) [/mm] gemacht. Hier aber ein ausführlicher Rechenweg:

1.Normierung von [mm] p_{1}(x): [/mm]

[mm] p_{1}(x):=\bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}||} [/mm]

=> [mm] ||p_{1}||^2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(1)^2 dx} [/mm] = 1

[mm] p_{1}(x)=\bruch{1}{1} [/mm]


2. Lot von [mm] p_{2}(x) [/mm] auf die Gerade [mm] q_{1}(x): I_{2}(x)=p_{2}-*q_{1}(x) [/mm]

[mm] I_{2}(x)=-x-<-x,1>*1 [/mm]

wobei <-x,1> = -1/2

ergibt also [mm] I_{2}(x)=-x+1/2 [/mm]

3.) Normierung von [mm] I_{2}(x): q_{2}(x)=\bruch{I_{2}(x)}{||I_{2}(x)||} [/mm]

[mm] ||I_{2}(x)||^2=\integral_{0}^{1}{(-x+1/2)^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{-x+1/2}{\wurzel{1/12}} [/mm]


Bezug
                        
Bezug
ONB berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:59 So 04.01.2009
Autor: aliaszero

sicher ne blöde frage aber warum ist <-x,1> = -1/2 ?
Wie berechnet man das?
LG

Bezug
                                
Bezug
ONB berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Mo 05.01.2009
Autor: aliaszero

ok ich hab vergessen, dass das Skalarprodukt durch das Integral definiert ist daher  gleich -0,5.
Danke für die Hilfe.
LG

Bezug
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