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| Aufgabe | Gegeben sei der Vektorraum [mm] \mathbb(R)^3 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt und die Vektoren [mm] v_1=(1,1,2)^T, v_2=(4,-2,2) [/mm] und [mm] v_3=(-7,11,4).
[/mm]
a) Beweise oder widerlegen Sie: [mm] U:=span(v_1,v_2,v_3)=\mathbb{R}^3.
[/mm]
b) Prüfen Sie, ob u=(-1,5,4) orthogonale Projektion von x=(0,6,3) in U ist. |
Moin moin.
Also für a bräuchte ich nur mal ne kurze Rückmeldung, ob das so legitim ist und für b jemanden der.
Ich würde ne Matrix A [mm] =\pmat{1&4&-7\\1&-2&11\\2&2&4}\sim \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
Ok. das ist ja die Standartbasis (ist das auch schon meine ONB?)-> [mm] U=\mathbb{R}^3.
[/mm]
zu b) hmm. kann man das auch ohne ONB bestimmen? Was muß den x verbal formuliert in Beziehung zu u darstellen?
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> Gegeben sei der Vektorraum [mm]\mathbb(R)^3[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt und die Vektoren [mm]v_1=(1,1,2)^T, v_2=(4,-2,2)[/mm]
> und [mm]v_3=(-7,11,4).[/mm]
> a) Beweise oder widerlegen Sie:
> [mm]U:=span(v_1,v_2,v_3)=\mathbb{R}^3.[/mm]
> b) Prüfen Sie, ob u=(-1,5,4) orthogonale Projektion von
> x=(0,6,3) in U ist.
> Moin moin.
> Also für a bräuchte ich nur mal ne kurze Rückmeldung, ob
> das so legitim ist und für b jemanden der.
> Ich würde ne Matrix A [mm]=\pmat{1&4&-7\\1&-2&11\\2&2&4}\sim \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm]
>
Hallo,
und hm. Dein Satz bricht so plötzlich ab.
Falls Du meinst, daß man A durch Zeilenumformungen auf [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} [/mm] bringen kann, stimmt das nicht.
Daher ist der Spann [mm] \not=\IR.
[/mm]
Für b) benötigst Du das orthogonale Komplement [mm] U^{\perp} [/mm] von [mm] U:=span(v_1,v_2,v_3).
[/mm]
Dazu mußt Du die Basis von U so zu einer Basis von [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen, daß der neue (bzw. die neuen) Basisvektor(en) senkrecht auf allen Vektoren aus U stehen.
Der nächste Schritt ist zu prüfen, ob eine Zerlegung von x in [mm] x=u^{\perp}+u [/mm] mit [mm] u^{\perp}\in U^{\perp} [/mm] möglich ist.
Gruß v. Angela
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Moin Moin angela.
zu a) Sorry. Blödes Tool das ich verwendet habe.
Also per Hand ergibts:
[mm] A=\pmat{1&4&-7\\1&-2&11\\2&2&}\sim \pmat{1&4&-7\\0&6&-18\\0&0&0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] rg(A)=2 [mm] \Rightarrow [/mm] dim U = 2 [mm] \Rightarrow U\neq \IR^3
[/mm]
D.h. doch daß [mm] v_3 [/mm] aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] dartellbar ist.
nun zu b) also muß ich erstmal einen Vektor finden der mit [mm] (1,0,0)^T [/mm] und [mm] (4,6,0)^T [/mm] ne Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bildet? (d.h. doch automatisch/insbesondere, dass er zu allen senktecht ist?)
gut da wäre mein Vorschlag dann: [mm] v_4=(0,0,1)^T
[/mm]
Damit wäre dann [mm] U*=span(\vektor{1\\0\\0},\vektor{4\\6\\0},\vektor{0\\0\\1})=\IR^3.
[/mm]
Passt das soweit?
Vielen Dank übrigens für deine Mühen. Hilft mir echt weiter.
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> Moin Moin angela.
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> zu a) Sorry. Blödes Tool das ich verwendet habe.
> Also per Hand ergibts:
> [mm]A=\pmat{1&4&-7\\1&-2&11\\2&2&}\sim \pmat{1&4&-7\\0&6&-18\\0&0&0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] rg(A)=2 [mm]\Rightarrow[/mm] dim U = 2 [mm]\Rightarrow U\neq \IR^3[/mm]
>
> D.h. doch daß [mm]v_3[/mm] aus [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] dartellbar ist.
Hallo,
bis hierher kann ich gut folgen.
Du könntest nun den Schluß ziehen, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] eine Basis von U sind.
Ich habe allerdings den furchtbaren Verdacht, daß Du meinst, daß
>
> [mm](1,0,0)^T[/mm] und [mm](4,6,0)^T[/mm] ne Basis
des U sind.
Das stimmt nicht! Was Du leicht daran sehen kannst, daß Du mit den beiden nie und nimmer wirst [mm] v_1 [/mm] erzeugen können.
Von daher brauchst Du zum Aufspannen des orthog. Komplements von U einen anderen als den von Dir ermittelten Vektor.
> doch automatisch/insbesondere, dass er zu allen senktecht
> ist?)
Ja. Wenn er zu beiden Basisvektoren von U senkrecht ist, dann ist er zu allen Vektoren aus U senkrecht.
Gruß v. Angela
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Gut. Also: [mm] span( \vektor{1\\1\\2}, \vektor{4\\-2\\2} ) = U [/mm] mit dim(U)=2
U will ich jetzt mit Hilfe eines weiteren Vektors zu [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen.
Das klappt dann mit [mm] \vektor{1\\1\\-1} [/mm] und somit ist [mm]span(\vektor{1\\1\\2}, \vektor{4\\-2\\2}, \vektor{1\\1\\-1})[/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Und das ganze muß ich jetzt transponieren und dann wie oben gesagt weiter verfahren.
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> Gut. Also: [mm]span( \vektor{1\\1\\2}, \vektor{4\\-2\\2} ) = U[/mm]
> mit dim(U)=2
> U will ich jetzt mit Hilfe eines weiteren Vektors zu [mm]\IR^3[/mm]
> aufspannen.
> Das klappt dann mit [mm]\vektor{1\\1\\-1}[/mm] und somit ist
> [mm]span(\vektor{1\\1\\2}, \vektor{4\\-2\\2}, \vektor{1\\1\\-1})[/mm]
> eine Basis des [mm]\IR^3.[/mm]
> Und das ganze muß ich jetzt transponieren und dann wie
> oben gesagt weiter verfahren.
Ja.
Es ist [mm] \IR^3=<\vektor{1\\1\\2}, \vektor{4\\-2\\2}>\oplus <\vektor{1\\1\\-1}>
[/mm]
und Du mußt gucken, ob (0,6,3) =(-1,5,4) +k(1,1,-1) ist.
Gruß v. Angela
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[mm] x=u\perp [/mm] + u [mm] \Rightarrow [/mm] (0,6,3) =(-1,5,4) +k(1,1,-1) mit k= 1
Damit habe ich doch eigentlich schon gezeigt was ich will.
Oder was muß ich hier noch mit [mm] A^T [/mm] bestimmen?
[mm] A^T= \pmat{1&1&2\\4&-2&2\\1&1&-1}
[/mm]
wenn ich jetzt von der Basis ausgehend eine ONB bestimmen möchte, muß ich ja noch einen der beiden ersten Vektoren ersetzen, da die ja nicht orthogonal zueinander sind. Der muß sich ja aus [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] erzeugen lassen. Und dann skalier ich die auf die Einheitslänge.
Wie kann ich dann die orthogonale Proj. mit der ONB bestimmen. Einfach Transponieren und dann das Produkt bilden.
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> [mm]x=u\perp[/mm] + u [mm]\Rightarrow[/mm] (0,6,3) =(-1,5,4) +k(1,1,-1) mit
> k= 1
> Damit habe ich doch eigentlich schon gezeigt was ich
> will.
Ja. Du weißt jetzt, daß (-1,5,4) die orthogonale Projektion von (0,6,3) auf U ist.
Für das, was Du in der Aufgabe tun sollst, brauchst Du keine ONB.
Wenn Du eine ONB haben willst, brauchst Du lediglich [mm] (v_1, v_2) [/mm] zu orthonormieren. (Nichts mit [mm] v_3 [/mm] !!! Du bräuchtest dann eine ONB von U.)
Und Dein Ergänzungsvektor [mm] v_3 [/mm] müßte noch normiert werden.
Aber für die Aufgabe ist's überflüssig.
Gruß v. Angela
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Die soll ich aber auch noch bestimmen und damit dann die orthogonale Projektion von [mm] y=(3,1,7)^T.
[/mm]
Und die soll ich ausgehend von [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] finden.
Die ONB hat ja die beiden Eigenschaften: je zwei Vektoren orthogonal und alle Vektoren haben Länge 1.
Der Betrag der Vektoren ist nicht das Problem, das kann man anpassen.
Aber [mm] v_1 [/mm] ist doch nicht orthogonal zu [mm] v_2. [/mm] Ähh.
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> Die soll ich aber auch noch bestimmen und damit dann die
> orthogonale Projektion von [mm]y=(3,1,7)^T.[/mm]
Die orthogonale Projektion worauf? Auch auf U?
Was steht da genau?
Gruß v. Angela
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Na gut.
Wenn Du eine ONB brauchst, dann orthonormalisiere, wie ich es Dir zuvor beschrieben habe. Finde also eine ONB [mm] (v_1, v_2^') [/mm] von [mm] U=. [/mm]
Der Ergänzungsvektor von vorhin ist automatisch senkrecht dazu, da er ja auf ganz U senkrecht steht.
Dann schreibst Du [mm] y=(3,1,7)^T [/mm] als
[mm] (3,1,7)^T=av_1+bv_2^'+c*Ergänzungsvektor
[/mm]
[mm] av_1+bv_2^' [/mm] ist dann die Projektion auf U.
(Aber wie gesagt: um die Projektion auf U zu finden, brauchst Du die ONB nicht.)
Gruß v. Angela
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Ok. Dann hab ich jetzt als [mm] v_2'=(-3,3,0)
[/mm]
damit ist die Projektion von [mm]y= \vektor{3\\1\\7}=a \bruch{1}{\sqrt{6}}\vektor{1\\1\\2}+b \bruch{1}{\sqrt{18}}\vektor{-3\\3\\0}+c \bruch{1}{\sqrt{3}}\vektor{1\\1\\-1}[/mm]
So meintest du das doch, oder?
Jetzt noch a,b,c bestimmen und die stellen die Projektion da [mm] (a,b,c)^T.
[/mm]
Und die ONB ist die drei normierten Vektoren nebeneinandergeschrieben? Oder brauch ich da wieder nur die ersten zwei da ja dimU =2 .
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> Und die ONB ist die drei normierten Vektoren
> nebeneinandergeschrieben? Oder brauch ich da wieder nur die
> ersten zwei da ja dimU =2 .
Die drei nebeneinander sind eine ONB vom [mm] \IR^3,
[/mm]
die ersten beiden nebeneinander sind eine ONB von U.
Also schreib das, was die wissen wollen.
> Ok. Dann hab ich jetzt als [mm]v_2'=(-3,3,0)[/mm]
> damit ist die Projektion von [mm]y= \vektor{3\\1\\7}=a \bruch{1}{\sqrt{6}}\vektor{1\\1\\2}+b \bruch{1}{\sqrt{18}}\vektor{-3\\3\\0}+c \bruch{1}{\sqrt{3}}\vektor{1\\1\\-1}[/mm]
>
> So meintest du das doch, oder?
Ja.
> Jetzt noch a,b,c bestimmen und die stellen die Projektion
> da [mm](a,b,c)^T.[/mm]
Hui.
Es wäre [mm] (a,b,c)^T [/mm] die Darstellung von y bzgl. Deiner ONB von [mm] \IR^3.
[/mm]
Die Projektion auf U in kartesischen Koordinaten ist a [mm] \bruch{1}{\sqrt{6}}\vektor{1\\1\\2}+b \bruch{1}{\sqrt{18}}\vektor{-3\\3\\0}, [/mm] in Koordinaten bzgl der ONB von [mm] \IR^3 [/mm] wäre es [mm] (a,b,0)^T.
[/mm]
Kommt drauf an, was die genau von Dir wollen.
Gruß v. Angela
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