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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:26 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Sultan |
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hi leute ich komm bei einer aufgabe einfach nicht voran . ich wöre dankbar wenn ihr mir weiter helfen könntet meine aufgabe lautet
sei f,g [mm] \in [/mm] SO(3) mit fg,gf. man zeige, dass dann entweder bezüglich einer geeigneten ON-Basis f und g simultan diagonalgestalt haben, oder aber f,g sind Drehungen um dieselbe Drehachse
hoffe ihr könnt mir weiter helfen
danke
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Hallo!
Also, ich werde mal einige Hinweise geben und versuchen, nicht alles zu verraten. 
Ganz wichtig ist folgende Tatsache (im Fischer als "Satz vom Fussball" bekannt): zu jedem $f [mm] \in SO_3(\IR)$ [/mm] ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 mindestens eindimensional, d.h. es gibt einen Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Daraus folgt, dass jede solche Transformation eine (möglicherweise triviale) Drehung um eine fixe Drehachse ist.
Mit diesem Wissen im Hinterkopf kann man die Aufgabe leicht angehen: falls $f = [mm] \id_V$, [/mm] so folgt, dass jede Gerade im Raum als Drehachse von $f$ angesehen werden kann, insbesondere haben $f$ und $g$ die gleiche Drehachse.
Sei also $f [mm] \not= \id_V$. [/mm] Sei [mm] $v_1 \in [/mm] V$ ein Vektor auf der Drehachse von $f$, also [mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] v_1$. [/mm] Es gilt dann:
[mm] $g(v_1) [/mm] = [mm] g\big(f(v_1)\big) [/mm] = [mm] f\big(g(v_1)\big)$
[/mm]
Also ist [mm] $g(v_1)$ [/mm] ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert 1, also ein Vielfaches von [mm] $v_1$, [/mm] da wir den trivialen Fall ausgeschlossen haben. Da $g$ Längen erhält folgt, dass einer der beiden folgenden Fälle eintritt:
Fall 1: [mm] $g(v_1) [/mm] = [mm] v_1$. [/mm] Damit haben $f$ und $g$ die gleiche Drehachse, die von [mm] $v_1$ [/mm] aufgespannte Gerade.
Fall 2: [mm] $g(v_1) [/mm] = - [mm] v_1$. [/mm] In diesem Fall spielen wir das Spiel rückwärts. Wir nehmen ein [mm] $v_2$, [/mm] das Eigenvektor von $g$ zum Eigenwert 1 ist und folgern analog, dass dann entweder [mm] $f(v_2) [/mm] = [mm] v_2$ [/mm] (gleiche Drehachse) oder aber [mm] $f(v_2) [/mm] = - [mm] v_2$.
[/mm]
Damit sind schon 2 von 3 Vektoren der gesuchten ON-Basis gefunden... den Rest überlasse ich Dir.
Lars
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